Номер 50, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 50, страница 319.

Условие.

50. Найдите сумму:

а) $1 + 11 + \dots + \underbrace{111\dots1}_{n \text{ единиц}};$

б) $x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n;$

в) $\frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} + \dots + \frac{1}{(k+n-1)(k+n)};$

г) $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Обозначим сумму через $S_n$. Общий член суммы $a_k$ представляет собой число, состоящее из $k$ единиц. Его можно записать как:

$a_k = \underbrace{11...1}_{k} = \sum_{i=0}^{k-1} 10^i$

Это сумма геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем 10 и $k$ членами. Ее сумма равна:

$a_k = \frac{10^k - 1}{10 - 1} = \frac{10^k - 1}{9}$

Тогда искомая сумма $S_n$ будет:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1)$

Разобьем сумму на две части:

$S_n = \frac{1}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$

Первая часть, $\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10 + 10^2 + ... + 10^n$, является суммой геометрической прогрессии с первым членом 10, знаменателем 10 и $n$ членами. Ее сумма равна:

$\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$

Вторая часть суммы равна:

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

Подставим обе части обратно в выражение для $S_n$:

$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right) = \frac{1}{81} (10(10^n - 1) - 9n) = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$

Ответ: $\frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$

б)

Обозначим искомую сумму через $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} kx^k$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x = 1$, то сумма представляет собой сумму арифметической прогрессии:

$S_n(1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

2. Если $x \neq 1$. Рассмотрим сумму геометрической прогрессии:

$G(x) = \sum_{k=0}^{n} x^k = 1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$

Продифференцируем обе части по $x$:

$G'(x) = \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{n} x^k = \sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} = 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1}$

Найдем производную от правой части выражения для $G(x)$:

$G'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1} \right) = \frac{(n+1)x^n(x - 1) - (x^{n+1} - 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{(n+1)x^{n+1} - (n+1)x^n - x^{n+1} + 1}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}$

Наша искомая сумма $S_n(x)$ связана с $G'(x)$ следующим образом:

$S_n(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + nx^n = x(1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1}) = x G'(x)$

Следовательно:

$S_n(x) = x \cdot \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x}{(x-1)^2}$

Ответ: Если $x=1$, то сумма равна $\frac{n(n+1)}{2}$. Если $x \neq 1$, то сумма равна $\frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x}{(x-1)^2}$.

в)

Данная сумма является телескопической. Общий член ряда $a_m$ (где $m$ меняется от 1 до $n$) имеет вид $\frac{1}{(k+m-1)(k+m)}$.

Представим каждый член суммы в виде разности двух дробей (метод неопределенных коэффициентов):

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

Приводя к общему знаменателю, получаем $1 = A(x+1) + Bx$.

При $x=0$, $1=A$. При $x=-1$, $1=-B$, откуда $B=-1$.

Таким образом, $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.

Применим это к нашему общему члену, положив $x = k+m-1$:

$\frac{1}{(k+m-1)(k+m)} = \frac{1}{k+m-1} - \frac{1}{k+m}$

Теперь запишем всю сумму $S_n$:

$S_n = \sum_{m=1}^{n} \left(\frac{1}{k+m-1} - \frac{1}{k+m}\right)$

Расписав слагаемые, получим:

$S_n = \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) + \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right) + \left(\frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{k+n-1} - \frac{1}{k+n}\right)$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Остаются только первый член из первого слагаемого и последний член из последнего слагаемого:

$S_n = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+n}$

Приведем результат к общему знаменателю:

$S_n = \frac{k+n - k}{k(k+n)} = \frac{n}{k(k+n)}$

Ответ: $\frac{n}{k(k+n)}$

г)

Обозначим сумму через $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \sin(kx)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $x = 2\pi m$ для некоторого целого $m$, то $\sin(kx) = \sin(k \cdot 2\pi m) = 0$ для любого $k$. В этом случае вся сумма равна нулю: $S_n(x) = 0$.

2. Если $x \neq 2\pi m$. Для нахождения суммы воспользуемся методом, основанным на использовании комплексных чисел. Искомая сумма является мнимой частью суммы комплексных экспонент:

$S_n(x) = \text{Im} \left( \sum_{k=1}^{n} e^{ikx} \right)$

Сумма $\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}$ представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = e^{ix}$ и знаменателем $q = e^{ix}$. Поскольку $x \neq 2\pi m$, то $q \neq 1$.

Сумма этой прогрессии равна:

$\sum_{k=1}^{n} (e^{ix})^k = \frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} = \frac{e^{ix}((e^{ix})^n - 1)}{e^{ix} - 1} = \frac{e^{ix}(e^{inx} - 1)}{e^{ix} - 1}$

Преобразуем это выражение, чтобы выделить действительную и мнимую части:

$\frac{e^{ix} \cdot e^{inx/2} (e^{inx/2} - e^{-inx/2})}{e^{ix/2} (e^{ix/2} - e^{-ix/2})} = \frac{e^{i(x + nx/2)} \cdot 2i \sin(nx/2)}{e^{ix/2} \cdot 2i \sin(x/2)}$

$= e^{i(x + nx/2 - x/2)} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} = e^{i(n+1)x/2} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Используя формулу Эйлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, получаем:

$\left( \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) + i \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \right) \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Искомая сумма $S_n(x)$ равна мнимой части этого выражения:

$S_n(x) = \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$

Ответ: Если $x = 2\pi m$ (где $m \in \mathbb{Z}$), то сумма равна 0. В противном случае сумма равна $\frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.