Номер 50, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 50, страница 319.
№50 (с. 319)
Условие. №50 (с. 319)
скриншот условия

50. Найдите сумму:
а) $1 + 11 + \dots + \underbrace{111\dots1}_{n \text{ единиц}};$
б) $x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n;$
в) $\frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} + \dots + \frac{1}{(k+n-1)(k+n)};$
г) $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx.$
Решение 3. №50 (с. 319)


Решение 5. №50 (с. 319)
а)
Обозначим сумму через $S_n$. Общий член суммы $a_k$ представляет собой число, состоящее из $k$ единиц. Его можно записать как:
$a_k = \underbrace{11...1}_{k} = \sum_{i=0}^{k-1} 10^i$
Это сумма геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем 10 и $k$ членами. Ее сумма равна:
$a_k = \frac{10^k - 1}{10 - 1} = \frac{10^k - 1}{9}$
Тогда искомая сумма $S_n$ будет:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{10^k - 1}{9} = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} (10^k - 1)$
Разобьем сумму на две части:
$S_n = \frac{1}{9} \left( \sum_{k=1}^{n} 10^k - \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$
Первая часть, $\sum_{k=1}^{n} 10^k = 10 + 10^2 + ... + 10^n$, является суммой геометрической прогрессии с первым членом 10, знаменателем 10 и $n$ членами. Ее сумма равна:
$\frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9}$
Вторая часть суммы равна:
$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$
Подставим обе части обратно в выражение для $S_n$:
$S_n = \frac{1}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right) = \frac{1}{81} (10(10^n - 1) - 9n) = \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{81}$
Ответ: $\frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}$
б)
Обозначим искомую сумму через $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} kx^k$.
Рассмотрим два случая.
1. Если $x = 1$, то сумма представляет собой сумму арифметической прогрессии:
$S_n(1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$
2. Если $x \neq 1$. Рассмотрим сумму геометрической прогрессии:
$G(x) = \sum_{k=0}^{n} x^k = 1 + x + x^2 + ... + x^n = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$
Продифференцируем обе части по $x$:
$G'(x) = \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{n} x^k = \sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} = 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1}$
Найдем производную от правой части выражения для $G(x)$:
$G'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1} \right) = \frac{(n+1)x^n(x - 1) - (x^{n+1} - 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{(n+1)x^{n+1} - (n+1)x^n - x^{n+1} + 1}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2}$
Наша искомая сумма $S_n(x)$ связана с $G'(x)$ следующим образом:
$S_n(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + nx^n = x(1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1}) = x G'(x)$
Следовательно:
$S_n(x) = x \cdot \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n + 1}{(x-1)^2} = \frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x}{(x-1)^2}$
Ответ: Если $x=1$, то сумма равна $\frac{n(n+1)}{2}$. Если $x \neq 1$, то сумма равна $\frac{nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x}{(x-1)^2}$.
в)
Данная сумма является телескопической. Общий член ряда $a_m$ (где $m$ меняется от 1 до $n$) имеет вид $\frac{1}{(k+m-1)(k+m)}$.
Представим каждый член суммы в виде разности двух дробей (метод неопределенных коэффициентов):
$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$
Приводя к общему знаменателю, получаем $1 = A(x+1) + Bx$.
При $x=0$, $1=A$. При $x=-1$, $1=-B$, откуда $B=-1$.
Таким образом, $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.
Применим это к нашему общему члену, положив $x = k+m-1$:
$\frac{1}{(k+m-1)(k+m)} = \frac{1}{k+m-1} - \frac{1}{k+m}$
Теперь запишем всю сумму $S_n$:
$S_n = \sum_{m=1}^{n} \left(\frac{1}{k+m-1} - \frac{1}{k+m}\right)$
Расписав слагаемые, получим:
$S_n = \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) + \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right) + \left(\frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{k+n-1} - \frac{1}{k+n}\right)$
Все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Остаются только первый член из первого слагаемого и последний член из последнего слагаемого:
$S_n = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+n}$
Приведем результат к общему знаменателю:
$S_n = \frac{k+n - k}{k(k+n)} = \frac{n}{k(k+n)}$
Ответ: $\frac{n}{k(k+n)}$
г)
Обозначим сумму через $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \sin(kx)$.
Рассмотрим два случая.
1. Если $x = 2\pi m$ для некоторого целого $m$, то $\sin(kx) = \sin(k \cdot 2\pi m) = 0$ для любого $k$. В этом случае вся сумма равна нулю: $S_n(x) = 0$.
2. Если $x \neq 2\pi m$. Для нахождения суммы воспользуемся методом, основанным на использовании комплексных чисел. Искомая сумма является мнимой частью суммы комплексных экспонент:
$S_n(x) = \text{Im} \left( \sum_{k=1}^{n} e^{ikx} \right)$
Сумма $\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}$ представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = e^{ix}$ и знаменателем $q = e^{ix}$. Поскольку $x \neq 2\pi m$, то $q \neq 1$.
Сумма этой прогрессии равна:
$\sum_{k=1}^{n} (e^{ix})^k = \frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} = \frac{e^{ix}((e^{ix})^n - 1)}{e^{ix} - 1} = \frac{e^{ix}(e^{inx} - 1)}{e^{ix} - 1}$
Преобразуем это выражение, чтобы выделить действительную и мнимую части:
$\frac{e^{ix} \cdot e^{inx/2} (e^{inx/2} - e^{-inx/2})}{e^{ix/2} (e^{ix/2} - e^{-ix/2})} = \frac{e^{i(x + nx/2)} \cdot 2i \sin(nx/2)}{e^{ix/2} \cdot 2i \sin(x/2)}$
$= e^{i(x + nx/2 - x/2)} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} = e^{i(n+1)x/2} \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$
Используя формулу Эйлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, получаем:
$\left( \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) + i \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \right) \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$
Искомая сумма $S_n(x)$ равна мнимой части этого выражения:
$S_n(x) = \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right) \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$
Ответ: Если $x = 2\pi m$ (где $m \in \mathbb{Z}$), то сумма равна 0. В противном случае сумма равна $\frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right) \sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 50 расположенного на странице 319 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №50 (с. 319), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.