Номер 57, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 57, страница 320.

Условие.

57. Функции $f$ и $g$ периодические с общим периодом $T$. Докажите, что функции $y = f(x) + g(x)$ и $y = f(x) g(x)$ являются периодическими с периодом $T$.

Решение 5.

По определению, функция $h(x)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(x+T) = h(x)$.

По условию задачи дано, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются периодическими с общим периодом $T$. Это означает, что для любого $x$ из их общей области определения выполняются следующие равенства:
$f(x+T) = f(x)$
$g(x+T) = g(x)$

Докажем, что сумма и произведение этих функций также являются периодическими с периодом $T$.

$y = f(x) + g(x)$
Рассмотрим функцию-сумму $h_1(x) = f(x) + g(x)$. Чтобы доказать ее периодичность с периодом $T$, нужно проверить выполнение равенства $h_1(x+T) = h_1(x)$.
Найдем значение функции в точке $x+T$:
$h_1(x+T) = f(x+T) + g(x+T)$.
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ периодические с периодом $T$, мы можем заменить $f(x+T)$ на $f(x)$ и $g(x+T)$ на $g(x)$:
$f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$.
Правая часть полученного выражения в точности совпадает с определением функции $h_1(x)$.
Таким образом, мы получили, что $h_1(x+T) = h_1(x)$, что и доказывает, что функция $y = f(x) + g(x)$ является периодической с периодом $T$.
Ответ: доказано, что функция $y = f(x) + g(x)$ является периодической с периодом $T$.

$y = f(x)g(x)$
Теперь рассмотрим функцию-произведение $h_2(x) = f(x)g(x)$. Аналогично предыдущему пункту, докажем, что $h_2(x+T) = h_2(x)$.
Найдем значение функции в точке $x+T$:
$h_2(x+T) = f(x+T)g(x+T)$.
Используя свойство периодичности функций $f(x)$ и $g(x)$ с периодом $T$, произведем замену:
$f(x+T)g(x+T) = f(x)g(x)$.
Правая часть этого равенства является исходной функцией $h_2(x)$.
Следовательно, $h_2(x+T) = h_2(x)$, что доказывает периодичность функции $y = f(x)g(x)$ с периодом $T$.
Ответ: доказано, что функция $y = f(x)g(x)$ является периодической с периодом $T$.