Номер 57, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 57, страница 320.
№57 (с. 320)
Условие. №57 (с. 320)
скриншот условия

57. Функции $f$ и $g$ периодические с общим периодом $T$. Докажите, что функции $y = f(x) + g(x)$ и $y = f(x) g(x)$ являются периодическими с периодом $T$.
Решение 5. №57 (с. 320)
По определению, функция $h(x)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(x+T) = h(x)$.
По условию задачи дано, что функции $f(x)$ и $g(x)$ являются периодическими с общим периодом $T$. Это означает, что для любого $x$ из их общей области определения выполняются следующие равенства:
$f(x+T) = f(x)$
$g(x+T) = g(x)$
Докажем, что сумма и произведение этих функций также являются периодическими с периодом $T$.
$y = f(x) + g(x)$
Рассмотрим функцию-сумму $h_1(x) = f(x) + g(x)$. Чтобы доказать ее периодичность с периодом $T$, нужно проверить выполнение равенства $h_1(x+T) = h_1(x)$.
Найдем значение функции в точке $x+T$:
$h_1(x+T) = f(x+T) + g(x+T)$.
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ периодические с периодом $T$, мы можем заменить $f(x+T)$ на $f(x)$ и $g(x+T)$ на $g(x)$:
$f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$.
Правая часть полученного выражения в точности совпадает с определением функции $h_1(x)$.
Таким образом, мы получили, что $h_1(x+T) = h_1(x)$, что и доказывает, что функция $y = f(x) + g(x)$ является периодической с периодом $T$.
Ответ: доказано, что функция $y = f(x) + g(x)$ является периодической с периодом $T$.
$y = f(x)g(x)$
Теперь рассмотрим функцию-произведение $h_2(x) = f(x)g(x)$. Аналогично предыдущему пункту, докажем, что $h_2(x+T) = h_2(x)$.
Найдем значение функции в точке $x+T$:
$h_2(x+T) = f(x+T)g(x+T)$.
Используя свойство периодичности функций $f(x)$ и $g(x)$ с периодом $T$, произведем замену:
$f(x+T)g(x+T) = f(x)g(x)$.
Правая часть этого равенства является исходной функцией $h_2(x)$.
Следовательно, $h_2(x+T) = h_2(x)$, что доказывает периодичность функции $y = f(x)g(x)$ с периодом $T$.
Ответ: доказано, что функция $y = f(x)g(x)$ является периодической с периодом $T$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 57 расположенного на странице 320 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №57 (с. 320), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.