Номер 60, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 60, страница 321.

Условие.

60. Докажите, что функция не является периодической:

а) $f(x) = \cos x \cos (x\sqrt{2});$

б) $f(x) = \cos x + \cos (x\sqrt{2});$

в) $f(x) = \sin x^2;$

г) $f(x) = \sin \sqrt{x}.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \cos x \cos(x\sqrt{2})$ не является периодической, преобразуем ее с помощью тригонометрической формулы произведения косинусов: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B)) $.
$f(x) = \frac{1}{2}(\cos(x - x\sqrt{2}) + \cos(x + x\sqrt{2})) = \frac{1}{2}(\cos(x(1-\sqrt{2})) + \cos(x(1+\sqrt{2})))$.
Функция $f(x)$ представлена в виде суммы двух периодических функций: $g_1(x) = \cos(x(1-\sqrt{2}))$ и $g_2(x) = \cos(x(1+\sqrt{2}))$.Найдем их основные периоды.Период функции $g_1(x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{|1-\sqrt{2}|} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}-1}$.Период функции $g_2(x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{1+\sqrt{2}}$.Сумма двух периодических функций с периодами $T_1$ и $T_2$ является периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение их периодов $T_1/T_2$ является рациональным числом.Найдем это отношение:$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2\pi}{\sqrt{2}-1}}{\frac{2\pi}{1+\sqrt{2}}} = \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{(1+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2})} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{2-1} = 3 + 2\sqrt{2} $.Число $3 + 2\sqrt{2}$ является иррациональным, так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число.Поскольку отношение периодов иррационально, исходная функция не является периодической.
Ответ: Функция не является периодической.

б) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \cos x + \cos(x\sqrt{2})$ не является периодической, воспользуемся методом доказательства от противного.
Предположим, что функция $f(x)$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Это означает, что для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.Найдем значение функции в точке $x=0$: $f(0) = \cos 0 + \cos 0 = 1 + 1 = 2$.Из условия периодичности следует, что $f(T) = f(0) = 2$.Запишем это равенство: $\cos T + \cos(T\sqrt{2}) = 2$.Так как максимальное значение функции косинус равно 1, данное равенство может выполняться только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны 1:$ \cos T = 1 $ и $ \cos(T\sqrt{2}) = 1 $.Из первого уравнения следует, что $T$ должен быть кратен $2\pi$, то есть $T = 2\pi k$ для некоторого целого числа $k \ge 1$ (так как $T>0$).Из второго уравнения следует, что $T\sqrt{2}$ также должен быть кратен $2\pi$, то есть $T\sqrt{2} = 2\pi m$ для некоторого целого числа $m \ge 1$.Подставим выражение для $T$ из первого равенства во второе:$ (2\pi k)\sqrt{2} = 2\pi m $.Разделив обе части на $2\pi k$ (где $k \ne 0$), получим:$ \sqrt{2} = \frac{m}{k} $.Это равенство утверждает, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом (отношением двух целых чисел). Однако известно, что $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Мы пришли к противоречию.Следовательно, наше исходное предположение о периодичности функции было неверным.
Ответ: Функция не является периодической.

в) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \sin(x^2)$ не является периодической, рассмотрим ее нули.
Предположим, что функция периодическая с периодом $T > 0$.Нули функции — это точки $x$, в которых $f(x) = 0$.$ \sin(x^2) = 0 $.Это уравнение выполняется, когда аргумент синуса кратен $\pi$: $x^2 = n\pi$, где $n$ — целое неотрицательное число ($n = 0, 1, 2, ...$).Отсюда нули функции (для $x \ge 0$) находятся в точках $x_n = \sqrt{n\pi}$.Найдем расстояние между двумя последовательными нулями $x_n$ и $x_{n+1}$:$ \Delta_n = x_{n+1} - x_n = \sqrt{(n+1)\pi} - \sqrt{n\pi} = \sqrt{\pi}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) $.Преобразуем это выражение:$ \Delta_n = \sqrt{\pi} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{\pi} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $.Как видно, расстояние $\Delta_n$ между последовательными нулями зависит от $n$ и не является постоянной величиной. Более того, при $n \to \infty$, знаменатель стремится к бесконечности, а значит, $\Delta_n \to 0$.Если бы функция была периодической, то расстояния между ее последовательными нулями должны были бы образовывать периодическую последовательность, а не стремиться к нулю. Полученное противоречие доказывает, что функция не является периодической.
Ответ: Функция не является периодической.

г) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \sin(\sqrt{x})$ не является периодической, рассмотрим ее нули. Область определения функции $x \ge 0$.
Предположим, что функция периодическая с периодом $T > 0$.Найдем нули функции из уравнения $f(x) = 0$:$ \sin(\sqrt{x}) = 0 $.Это равенство верно, когда $\sqrt{x} = n\pi$, где $n$ — целое неотрицательное число ($n = 0, 1, 2, ...$).Отсюда нули функции находятся в точках $x_n = (n\pi)^2 = n^2\pi^2$.Найдем расстояние между двумя последовательными нулями $x_n$ и $x_{n+1}$:$ \Delta_n = x_{n+1} - x_n = ((n+1)\pi)^2 - (n\pi)^2 = \pi^2((n+1)^2 - n^2) = \pi^2(n^2 + 2n + 1 - n^2) = (2n+1)\pi^2 $.Расстояние между последовательными нулями $\Delta_n$ зависит от $n$ и не является постоянным. Например, при $n=0$, $\Delta_0 = \pi^2$; при $n=1$, $\Delta_1 = 3\pi^2$; при $n=2$, $\Delta_2 = 5\pi^2$. Расстояние между нулями неограниченно растет с увеличением $n$.Для периодической функции расстояние между соответствующими точками (например, нулями) должно быть постоянным (или кратным периоду). Так как расстояние между последовательными нулями не постоянно, это противоречит предположению о периодичности.
Ответ: Функция не является периодической.