Номер 67, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 67, страница 321.

Условие.

67. При каких $n$ функция $f$ может иметь ровно $n$ точек экстремума, если известно, что $f$:

a) четная;

б) нечетная;

в) периодическая функция?

Решение 5.

а)Для четной функции $f$ выполняется условие $f(x) = f(-x)$ для всех $x$ из ее области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Рассмотрим точки экстремума (максимума или минимума).

1. Если точка $x_0 \neq 0$ является точкой экстремума, то из-за симметрии точка $-x_0$ также будет точкой экстремума того же типа. Например, если $f(x_0)$ — локальный максимум, то и $f(-x_0) = f(x_0)$ также будет локальным максимумом. Таким образом, все точки экстремума, не равные нулю, появляются парами. Количество таких точек всегда четно: $2k$, где $k$ — количество пар экстремумов ($k \ge 0$).

2. Точка $x=0$ является особенной, так как она симметрична самой себе. В этой точке может быть экстремум, а может и не быть.

Рассмотрим два случая:

• Если в точке $x=0$ есть экстремум, то общее число точек экстремума будет $n = 2k + 1$. Это означает, что $n$ может быть любым нечетным натуральным числом. Например, функция $f(x) = x^2$ имеет один экстремум ($n=1$) в точке $x=0$. Функция $f(x) = x^4 - 2x^2$ имеет три экстремума ($n=3$) в точках $x=0, x=1, x=-1$.
• Если в точке $x=0$ нет экстремума (например, это точка перегиба), то общее число точек экстремума будет $n = 2k$. Это означает, что $n$ может быть любым четным положительным числом. Например, функция $f(x) = x^6 - 3x^4$ имеет производную $f'(x) = 6x^5 - 12x^3 = 6x^3(x^2-2)$. Критические точки: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$. В точках $x=\pm\sqrt{2}$ находятся минимумы, а в точке $x=0$ экстремума нет (это точка перегиба). Таким образом, у этой функции $n=2$ точки экстремума.

Следовательно, для четной функции число точек экстремума $n$ может быть любым натуральным числом. Случай $n=0$ для не-константной четной функции, определенной на всей числовой оси, как правило, невозможен, так как она должна иметь хотя бы один экстремум (например, глобальный минимум, если ветви параболы направлены вверх).

Ответ: $n$ - любое натуральное число ($n \ge 1$).

б)Для нечетной функции $f$ выполняется условие $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из ее области определения. График такой функции симметричен относительно начала координат.

1. Если точка $x_0 \neq 0$ является точкой локального максимума, то в некоторой ее окрестности $f(x) \le f(x_0)$. Тогда для точки $-x_0$ в ее окрестности выполняется $f(-x) = -f(x) \ge -f(x_0) = f(-x_0)$. Это означает, что $-x_0$ является точкой локального минимума. Таким образом, точки экстремума, не равные нулю, всегда появляются парами (максимум-минимум). Количество таких точек всегда четно: $2k$, где $k \ge 0$.

2. Рассмотрим точку $x=0$. Если функция определена в этой точке, то из свойства нечетности следует $f(0) = -f(0)$, что означает $f(0)=0$. Точка $x=0$ не может быть точкой экстремума для нечетной функции (за исключением тривиального случая, когда функция тождественно равна нулю в окрестности нуля). Если бы $x=0$ был, например, локальным максимумом, то в некоторой окрестности выполнялось бы $f(x) \le f(0) = 0$. Но если для $x > 0$ в этой окрестности $f(x) \le 0$, то для $-x < 0$ должно выполняться $f(-x) = -f(x) \ge 0$. Таким образом, по разные стороны от нуля функция принимает значения разных знаков (или равна нулю), что характерно для точки перегиба, а не для экстремума.

Следовательно, общее число точек экстремума $n$ для нечетной функции равно числу ее ненулевых экстремумов, то есть $n=2k$. Таким образом, $n$ может быть только четным неотрицательным числом.

• $n=0$: функция $f(x)=x$ нечетная и не имеет экстремумов.
• $n=2$: функция $f(x) = x^3 - 3x$ нечетная и имеет два экстремума в точках $x=\pm1$.
• $n=2k$: можно построить нечетный многочлен, производная которого имеет $2k$ ненулевых корней.

Ответ: $n$ - любое четное неотрицательное число ($n=2k$, где $k=0, 1, 2, ...$).

в)Для периодической функции $f$ с периодом $T > 0$ выполняется условие $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$.

Если у функции есть хотя бы одна точка экстремума $x_0$, то в силу периодичности все точки вида $x_k = x_0 + kT$ (где $k$ - любое целое число) также будут точками экстремума того же типа. Это означает, что если у не-константной периодической функции есть хотя бы один экстремум, то их у нее бесконечно много.

В задаче требуется, чтобы функция имела *ровно n* точек экстремума, то есть их число должно быть конечным. Единственный способ для периодической функции иметь конечное число экстремумов — это не иметь их вовсе.

Следовательно, единственно возможное конечное значение для $n$ — это $n=0$.

Примеры периодических функций без экстремумов:

• Константная функция $f(x)=C$. По строгому определению, у нее нет точек экстремума, так как нет точек, где значение было бы строго больше или меньше, чем в окрестности.
• Не-константная функция, например, "пилообразная" функция $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$. Эта функция строго возрастает на каждом интервале $[k, k+1)$ и не имеет локальных максимумов или минимумов.

Ответ: $n=0$.