Номер 71, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 71, страница 322.

Условие.

71. Приведите пример обратимой функции, определенной на отрезке $[0; 1]$ и имеющей две точки экстремума.

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо найти функцию, которая является инъективной (каждому значению функции соответствует ровно одно значение аргумента) на отрезке $[0; 1]$ и при этом имеет две точки локального экстремума.

Если функция непрерывна на отрезке, то для того, чтобы она была обратимой, она должна быть строго монотонной. Строго монотонная непрерывная функция на отрезке $[0; 1]$ достигает своих экстремумов (минимума и максимума) на концах отрезка. Например, функция $f(x) = x$ на отрезке $[0; 1]$ имеет минимум в точке $x=0$ и максимум в точке $x=1$, то есть две точки экстремума, и она обратима. Это самый простой пример.

Однако, если не требовать непрерывности, можно построить более интересный пример с экстремумами внутри интервала. Для этого функция должна быть разрывной.

Рассмотрим следующую функцию $f(x)$, определенную на отрезке $[0; 1]$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{3}, & \text{если } x = \frac{1}{3} \\\frac{1}{3}, & \text{если } x = \frac{2}{3} \\x, & \text{в остальных случаях на } [0; 1]\end{cases}$

Проверим, удовлетворяет ли эта функция всем условиям задачи.

1. Определенность на отрезке $[0; 1]$
Функция определена для всех точек $x$ из отрезка $[0; 1]$, так как мы задали ее значение для каждого $x$ на этом отрезке.

2. Обратимость (инъективность)
Функция является обратимой, если для любых двух различных значений аргумента $x_1 \neq x_2$ значения функции также различны $f(x_1) \neq f(x_2)$.

• Если ни $x_1$, ни $x_2$ не равны $\frac{1}{3}$ или $\frac{2}{3}$, то $f(x_1) = x_1$ и $f(x_2) = x_2$. Так как $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.
• Если $x_1 = \frac{1}{3}$, то $f(x_1) = \frac{2}{3}$. Для любого другого $x_2 \neq \frac{1}{3}$:
  • Если $x_2 = \frac{2}{3}$, то $f(x_2) = \frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.
  • Если $x_2 \neq \frac{2}{3}$ и $x_2 \neq \frac{1}{3}$, то $f(x_2) = x_2$. Может ли $x_2 = \frac{2}{3}$? Нет, этот случай мы рассмотрели. Таким образом $f(x_2) = x_2 \neq \frac{2}{3}$.
• Аналогично проверяется для $x_1 = \frac{2}{3}$.

Таким образом, каждому значению $y$ из области значений функции соответствует единственное значение $x$, что доказывает обратимость функции.

3. Наличие двух точек экстремума
Точка $x_0$ является точкой локального максимума, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \le f(x_0)$. Аналогично для минимума $f(x) \ge f(x_0)$.

• Рассмотрим точку $x_0 = \frac{1}{3}$. Значение функции в этой точке $f(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$. В любой малой окрестности точки $\frac{1}{3}$, для всех $x \neq \frac{1}{3}$ из этой окрестности, значение функции $f(x) = x$. Так как $x$ близко к $\frac{1}{3}$, то $f(x) = x \approx \frac{1}{3}$. Очевидно, что $\frac{2}{3} > x$ для всех $x$ в достаточно малой окрестности $\frac{1}{3}$. Следовательно, $x_0 = \frac{1}{3}$ — точка локального максимума.
• Рассмотрим точку $x_0 = \frac{2}{3}$. Значение функции в этой точке $f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$. В любой малой окрестности точки $\frac{2}{3}$, для всех $x \neq \frac{2}{3}$ из этой окрестности, значение функции $f(x) = x$. Так как $x$ близко к $\frac{2}{3}$, то $f(x) = x \approx \frac{2}{3}$. Очевидно, что $\frac{1}{3} < x$ для всех $x$ в достаточно малой окрестности $\frac{2}{3}$. Следовательно, $x_0 = \frac{2}{3}$ — точка локального минимума.

Функция имеет две точки экстремума: локальный максимум в $x=\frac{1}{3}$ и локальный минимум в $x=\frac{2}{3}$.

Таким образом, построенная функция удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Примером такой функции может служить функция $f(x)$, определенная на отрезке $[0; 1]$ следующим образом:$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{3}, & \text{если } x = \frac{1}{3} \\\frac{1}{3}, & \text{если } x = \frac{2}{3} \\x, & \text{для всех остальных } x \in [0; 1]\end{cases}$