Номер 75, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 75, страница 322.

Условие.

75. Дополните (если это возможно) графики функций, изображенных на рисунке 156, до графиков периодических функций с наименьшим положительным периодом $T$, являющихся при этом:

а) четными;

б) нечетными.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи предположим, что исходные графики функций заданы на отрезке $[0, a]$, где $a > 0$. Мы будем дополнять эти графики, чтобы получить функции, определенные на всей числовой оси.

а)

Чтобы дополнить график до четной периодической функции, необходимо выполнить два шага:

1. Построение четной функции на симметричном отрезке.

   Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Так как исходная функция задана на отрезке $[0, a]$, мы можем определить ее на отрезке $[-a, 0]$, отразив существующий график симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.

2. Периодическое продолжение.

   Теперь у нас есть фрагмент графика на отрезке $[-a, a]$ длиной $2a$. Чтобы получить периодическую функцию, мы должны повторять этот фрагмент вдоль всей оси OX. Наименьшим положительным периодом $T$ такой функции будет длина отрезка $[-a, a]$, то есть $T = 2a$. Мы продолжаем график, используя свойство периодичности $f(x + T) = f(x)$, то есть $f(x + 2a) = f(x)$.

Такое дополнение возможно для любого графика, заданного на отрезке $[0, a]$. Если исходная функция была непрерывна, то и полученная четная периодическая функция будет непрерывна, так как на концах основного периода $[-a, a]$ значения функции совпадают: $f(-a) = f(a)$ по свойству четности.

Ответ: Дополнение до четной периодической функции всегда возможно. Для этого нужно сначала отразить исходный график, заданный на $[0, a]$, симметрично относительно оси OY, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.

б)

Чтобы дополнить график до нечетной периодической функции, необходимо выполнить аналогичные два шага:

1. Построение нечетной функции на симметричном отрезке.

   Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Мы определяем функцию на отрезке $[-a, 0]$, отражая исходный график с отрезка $[0, a]$ симметрично относительно начала координат. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.

2. Периодическое продолжение.

   Как и в случае с четной функцией, мы берем полученный на отрезке $[-a, a]$ фрагмент и периодически повторяем его с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.

Однако такое дополнение возможно не всегда (если требовать, чтобы итоговая функция была непрерывной). Для непрерывности периодической функции необходимо, чтобы значения на концах периода совпадали: $f(-a) = f(a)$. Но для нечетной функции $f(-a) = -f(a)$. Из этих двух условий следует, что $f(a) = -f(a)$, что равносильно $2f(a) = 0$, то есть $f(a)=0$. Кроме того, для любой нечетной функции, определенной в точке $x=0$, должно выполняться $f(0)=0$.

Следовательно, дополнение до непрерывной нечетной периодической функции возможно только при выполнении двух условий для исходного графика: он должен начинаться в начале координат, $f(0)=0$, и заканчиваться на оси абсцисс, $f(a)=0$. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, построить непрерывную нечетную периодическую функцию невозможно.

Ответ: Дополнение до нечетной периодической функции возможно, если исходный график на отрезке $[0, a]$ начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(a, 0)$, то есть $f(0)=0$ и $f(a)=0$. В этом случае нужно сначала отразить исходный график симметрично относительно начала координат, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$. Если условия $f(0)=0$ и $f(a)=0$ не выполнены, такое дополнение (до непрерывной функции) невозможно.