Номер 75, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 75, страница 322.
№75 (с. 322)
Условие. №75 (с. 322)
скриншот условия

75. Дополните (если это возможно) графики функций, изображенных на рисунке 156, до графиков периодических функций с наименьшим положительным периодом $T$, являющихся при этом:
а) четными;
б) нечетными.
Решение 3. №75 (с. 322)

Решение 5. №75 (с. 322)
Для решения задачи предположим, что исходные графики функций заданы на отрезке $[0, a]$, где $a > 0$. Мы будем дополнять эти графики, чтобы получить функции, определенные на всей числовой оси.
а)
Чтобы дополнить график до четной периодической функции, необходимо выполнить два шага:
Построение четной функции на симметричном отрезке.
Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Так как исходная функция задана на отрезке $[0, a]$, мы можем определить ее на отрезке $[-a, 0]$, отразив существующий график симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.
Периодическое продолжение.
Теперь у нас есть фрагмент графика на отрезке $[-a, a]$ длиной $2a$. Чтобы получить периодическую функцию, мы должны повторять этот фрагмент вдоль всей оси OX. Наименьшим положительным периодом $T$ такой функции будет длина отрезка $[-a, a]$, то есть $T = 2a$. Мы продолжаем график, используя свойство периодичности $f(x + T) = f(x)$, то есть $f(x + 2a) = f(x)$.
Такое дополнение возможно для любого графика, заданного на отрезке $[0, a]$. Если исходная функция была непрерывна, то и полученная четная периодическая функция будет непрерывна, так как на концах основного периода $[-a, a]$ значения функции совпадают: $f(-a) = f(a)$ по свойству четности.
Ответ: Дополнение до четной периодической функции всегда возможно. Для этого нужно сначала отразить исходный график, заданный на $[0, a]$, симметрично относительно оси OY, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.
б)
Чтобы дополнить график до нечетной периодической функции, необходимо выполнить аналогичные два шага:
Построение нечетной функции на симметричном отрезке.
Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Мы определяем функцию на отрезке $[-a, 0]$, отражая исходный график с отрезка $[0, a]$ симметрично относительно начала координат. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.
Периодическое продолжение.
Как и в случае с четной функцией, мы берем полученный на отрезке $[-a, a]$ фрагмент и периодически повторяем его с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.
Однако такое дополнение возможно не всегда (если требовать, чтобы итоговая функция была непрерывной). Для непрерывности периодической функции необходимо, чтобы значения на концах периода совпадали: $f(-a) = f(a)$. Но для нечетной функции $f(-a) = -f(a)$. Из этих двух условий следует, что $f(a) = -f(a)$, что равносильно $2f(a) = 0$, то есть $f(a)=0$. Кроме того, для любой нечетной функции, определенной в точке $x=0$, должно выполняться $f(0)=0$.
Следовательно, дополнение до непрерывной нечетной периодической функции возможно только при выполнении двух условий для исходного графика: он должен начинаться в начале координат, $f(0)=0$, и заканчиваться на оси абсцисс, $f(a)=0$. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, построить непрерывную нечетную периодическую функцию невозможно.
Ответ: Дополнение до нечетной периодической функции возможно, если исходный график на отрезке $[0, a]$ начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(a, 0)$, то есть $f(0)=0$ и $f(a)=0$. В этом случае нужно сначала отразить исходный график симметрично относительно начала координат, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$. Если условия $f(0)=0$ и $f(a)=0$ не выполнены, такое дополнение (до непрерывной функции) невозможно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 75 расположенного на странице 322 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №75 (с. 322), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.