Номер 75, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 75, страница 322.

№75 (с. 322)
Условие. №75 (с. 322)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 322, номер 75, Условие

75. Дополните (если это возможно) графики функций, изображенных на рисунке 156, до графиков периодических функций с наименьшим положительным периодом $T$, являющихся при этом:

а) четными;

б) нечетными.

Решение 3. №75 (с. 322)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 322, номер 75, Решение 3
Решение 5. №75 (с. 322)

Для решения задачи предположим, что исходные графики функций заданы на отрезке $[0, a]$, где $a > 0$. Мы будем дополнять эти графики, чтобы получить функции, определенные на всей числовой оси.

а)

Чтобы дополнить график до четной периодической функции, необходимо выполнить два шага:

  1. Построение четной функции на симметричном отрезке.

    Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Так как исходная функция задана на отрезке $[0, a]$, мы можем определить ее на отрезке $[-a, 0]$, отразив существующий график симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.

  2. Периодическое продолжение.

    Теперь у нас есть фрагмент графика на отрезке $[-a, a]$ длиной $2a$. Чтобы получить периодическую функцию, мы должны повторять этот фрагмент вдоль всей оси OX. Наименьшим положительным периодом $T$ такой функции будет длина отрезка $[-a, a]$, то есть $T = 2a$. Мы продолжаем график, используя свойство периодичности $f(x + T) = f(x)$, то есть $f(x + 2a) = f(x)$.

Такое дополнение возможно для любого графика, заданного на отрезке $[0, a]$. Если исходная функция была непрерывна, то и полученная четная периодическая функция будет непрерывна, так как на концах основного периода $[-a, a]$ значения функции совпадают: $f(-a) = f(a)$ по свойству четности.

Ответ: Дополнение до четной периодической функции всегда возможно. Для этого нужно сначала отразить исходный график, заданный на $[0, a]$, симметрично относительно оси OY, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.

б)

Чтобы дополнить график до нечетной периодической функции, необходимо выполнить аналогичные два шага:

  1. Построение нечетной функции на симметричном отрезке.

    Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (точки (0,0)). Мы определяем функцию на отрезке $[-a, 0]$, отражая исходный график с отрезка $[0, a]$ симметрично относительно начала координат. Таким образом, мы получаем график функции на отрезке $[-a, a]$.

  2. Периодическое продолжение.

    Как и в случае с четной функцией, мы берем полученный на отрезке $[-a, a]$ фрагмент и периодически повторяем его с наименьшим положительным периодом $T = 2a$.

Однако такое дополнение возможно не всегда (если требовать, чтобы итоговая функция была непрерывной). Для непрерывности периодической функции необходимо, чтобы значения на концах периода совпадали: $f(-a) = f(a)$. Но для нечетной функции $f(-a) = -f(a)$. Из этих двух условий следует, что $f(a) = -f(a)$, что равносильно $2f(a) = 0$, то есть $f(a)=0$. Кроме того, для любой нечетной функции, определенной в точке $x=0$, должно выполняться $f(0)=0$.

Следовательно, дополнение до непрерывной нечетной периодической функции возможно только при выполнении двух условий для исходного графика: он должен начинаться в начале координат, $f(0)=0$, и заканчиваться на оси абсцисс, $f(a)=0$. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, построить непрерывную нечетную периодическую функцию невозможно.

Ответ: Дополнение до нечетной периодической функции возможно, если исходный график на отрезке $[0, a]$ начинается в точке $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(a, 0)$, то есть $f(0)=0$ и $f(a)=0$. В этом случае нужно сначала отразить исходный график симметрично относительно начала координат, получив график на отрезке $[-a, a]$. Затем этот объединенный график периодически повторить с наименьшим положительным периодом $T = 2a$. Если условия $f(0)=0$ и $f(a)=0$ не выполнены, такое дополнение (до непрерывной функции) невозможно.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 75 расположенного на странице 322 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №75 (с. 322), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.