Номер 70, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 70, страница 321.

Условие.

70. Среди функций вида:

а) $y = \frac{1}{ax + b}$;

б) $y = \frac{ax + b}{cx + d}$

— найдите все, совпадающие с обратными к самим себе.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы функция $y = f(x)$ совпадала со своей обратной, необходимо и достаточно, чтобы для всех $x$ из области определения функции выполнялось тождество $f(f(x)) = x$. Для функции вида $y = \frac{1}{ax+b}$ найдем $f(f(x))$:

$f(f(x)) = \frac{1}{a \cdot f(x) + b} = \frac{1}{a \cdot (\frac{1}{ax+b}) + b} = \frac{1}{\frac{a}{ax+b} + b} = \frac{1}{\frac{a + b(ax+b)}{ax+b}} = \frac{ax+b}{a + abx + b^2}$

Теперь приравняем полученное выражение к $x$:

$\frac{ax+b}{abx + a + b^2} = x$

$ax+b = x(abx + a + b^2)$

$ax+b = abx^2 + (a+b^2)x$

$abx^2 + (a+b^2-a)x - b = 0$

$abx^2 + b^2x - b = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения. Это возможно только в том случае, если все коэффициенты многочлена равны нулю:

$\begin{cases} ab = 0 \\ b^2 = 0 \\ -b = 0 \end{cases}$

Из второго и третьего уравнений следует, что $b=0$. При этом первое уравнение ($a \cdot 0 = 0$) также выполняется. Исходная функция $y=\frac{1}{ax+b}$ является невырожденной (не постоянной), если $a \ne 0$. Таким образом, условие, при котором функция совпадает со своей обратной, — это $b=0$ при $a \ne 0$.

Функции имеют вид $y = \frac{1}{ax}$.

Ответ: функции вида $y = \frac{1}{ax}$, где $a$ — любое действительное число, не равное нулю.

б)

Рассмотрим функцию вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Условие совпадения функции со своей обратной: $f(f(x)) = x$.

$f(f(x)) = \frac{a \cdot f(x) + b}{c \cdot f(x) + d} = \frac{a \cdot (\frac{ax+b}{cx+d}) + b}{c \cdot (\frac{ax+b}{cx+d}) + d}$

Умножим числитель и знаменатель на $cx+d$:

$f(f(x)) = \frac{a(ax+b) + b(cx+d)}{c(ax+b) + d(cx+d)} = \frac{a^2x+ab+bcx+bd}{acx+bc+cdx+d^2} = \frac{(a^2+bc)x + (ab+bd)}{(ac+cd)x + (bc+d^2)}$

Приравняем это выражение к $x$:

$\frac{(a^2+bc)x + b(a+d)}{c(a+d)x + (bc+d^2)} = x$

$(a^2+bc)x + b(a+d) = x(c(a+d)x + (bc+d^2))$

$(a^2+bc)x + b(a+d) = c(a+d)x^2 + (bc+d^2)x$

$c(a+d)x^2 + (bc+d^2-a^2-bc)x - b(a+d) = 0$

$c(a+d)x^2 + (d^2-a^2)x - b(a+d) = 0$

$c(a+d)x^2 + (d-a)(d+a)x - b(a+d) = 0$

$(a+d) \cdot [cx^2 + (d-a)x - b] = 0$

Это тождество должно выполняться для всех $x$. Это возможно, если один из множителей тождественно равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a+d=0$, то есть $d=-a$. При этом функция не должна быть постоянной, то есть должно выполняться условие невырожденности $ad-bc \ne 0$. Подставив $d=-a$, получим: $a(-a) - bc \ne 0 \Rightarrow -a^2 - bc \ne 0 \Rightarrow a^2+bc \ne 0$. Таким образом, все функции вида $y = \frac{ax+b}{cx-a}$ при условии $a^2+bc \ne 0$ совпадают со своими обратными.

Случай 2: $cx^2 + (d-a)x - b = 0$ для всех $x$. Это возможно только тогда, когда все коэффициенты многочлена равны нулю:

$\begin{cases} c = 0 \\ d-a = 0 \\ -b = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c = 0 \\ d = a \\ b = 0 \end{cases}$

Проверим условие невырожденности $ad-bc \ne 0$:

$a \cdot a - 0 \cdot 0 = a^2 \ne 0$, что означает $a \ne 0$. При этих условиях функция имеет вид $y = \frac{ax+0}{0x+a} = \frac{ax}{a} = x$. Функция $y=x$ является частным случаем, не входящим в первую группу (так как для нее $a=d \ne 0$, что противоречит условию $a+d=0$, если $a \ne 0$).

Ответ: функции двух видов: 1) $y = \frac{ax+b}{cx-a}$ при условии, что $a,b,c$ — действительные числа, для которых $a^2+bc \ne 0$; 2) функция $y=x$.