Номер 63, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 63, страница 321.

Условие.

63. Сравните числа:

а) $\log_2 3$ и $\log_5 8$;

б) $\log_9 10$ и $\lg 11$;

в) $2^{3^{100}}$ и $3^{2^{150}}$;

г) $\csc \frac{1}{2}$ и $4 \left(1-\sin \frac{1}{2}\right)$.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы сравнить числа $\log_2 3$ и $\log_5 8$, сравним каждое из них с числом $1,5 = \frac{3}{2}$.

1. Сравним $\log_2 3$ и $\frac{3}{2}$.
Это сравнение равносильно сравнению аргументов $3$ и $2^{3/2}$ (так как основание логарифма $2 > 1$).
$2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$.
Сравним $3$ и $\sqrt{8}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{8})^2 = 8$.
Поскольку $9 > 8$, то $3 > \sqrt{8}$.
Следовательно, $\log_2 3 > \log_2 (2^{3/2}) = \frac{3}{2}$.

2. Сравним $\log_5 8$ и $\frac{3}{2}$.
Это сравнение равносильно сравнению аргументов $8$ и $5^{3/2}$ (так как основание логарифма $5 > 1$).
$5^{3/2} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125}$.
Сравним $8$ и $\sqrt{125}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $8^2 = 64$ и $(\sqrt{125})^2 = 125$.
Поскольку $64 < 125$, то $8 < \sqrt{125}$.
Следовательно, $\log_5 8 < \log_5 (5^{3/2}) = \frac{3}{2}$.

Из полученных неравенств $\log_2 3 > \frac{3}{2}$ и $\log_5 8 < \frac{3}{2}$ следует, что $\log_2 3 > \log_5 8$.

Ответ: $\log_2 3 > \log_5 8$.

б) Сравним числа $\log_9 10$ и $\lg 11$ (где $\lg 11 = \log_{10} 11$).
Рассмотрим функцию $f(x) = \log_{x-1} x = \frac{\ln x}{\ln(x-1)}$ при $x > 2$.
Первое число - это $f(10) = \log_9 10$, второе - $f(11) = \log_{10} 11$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:
$f'(x) = \left(\frac{\ln x}{\ln(x-1)}\right)' = \frac{\frac{1}{x}\ln(x-1) - \ln x \cdot \frac{1}{x-1}}{(\ln(x-1))^2} = \frac{(x-1)\ln(x-1) - x\ln x}{x(x-1)(\ln(x-1))^2}$.
Знаменатель дроби положителен при $x > 2$. Знак производной определяется знаком числителя: $g(x) = (x-1)\ln(x-1) - x\ln x$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = \left(1\cdot\ln(x-1) + (x-1)\cdot\frac{1}{x-1}\right) - \left(1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}\right) = \ln(x-1) + 1 - \ln x - 1 = \ln\left(\frac{x-1}{x}\right)$.
При $x > 1$ дробь $\frac{x-1}{x} < 1$, поэтому $\ln\left(\frac{x-1}{x}\right) < 0$.
Так как $g'(x) < 0$, функция $g(x)$ является убывающей при $x > 2$.
При $x \to \infty$, $g(x) = (x-1)\ln(x-1) - x\ln x = (x-1)(\ln x + \ln(1-\frac{1}{x})) - x\ln x \approx (x-1)(\ln x - \frac{1}{x}) - x\ln x = x\ln x - 1 - \ln x + \frac{1}{x} - x\ln x = -1-\ln x + \frac{1}{x} \to -\infty$. Поскольку $g(x)$ убывает, то $g(x) < 0$ для всех $x \ge 2$ (например, $g(2) = 1\ln 1 - 2\ln 2 = -2\ln 2 < 0$).
Значит, числитель в выражении для $f'(x)$ отрицателен, и $f'(x) < 0$.
Следовательно, функция $f(x) = \log_{x-1} x$ убывает при $x > 2$.
Поскольку $11 > 10$, из убывания функции следует, что $f(11) < f(10)$.
Таким образом, $\log_{10} 11 < \log_9 10$.

Ответ: $\log_9 10 > \lg 11$.

в) Сравним числа $2^{3^{100}}$ и $3^{2^{150}}$.
Поскольку логарифмическая функция является монотонно возрастающей, сравнение чисел можно заменить сравнением их логарифмов. Прологарифмируем оба числа дважды по натуральному основанию.
$A = \ln(\ln(2^{3^{100}})) = \ln(3^{100} \cdot \ln 2) = \ln(3^{100}) + \ln(\ln 2) = 100\ln 3 + \ln(\ln 2)$.
$B = \ln(\ln(3^{2^{150}})) = \ln(2^{150} \cdot \ln 3) = \ln(2^{150}) + \ln(\ln 3) = 150\ln 2 + \ln(\ln 3)$.
Сравним $A$ и $B$. Для этого рассмотрим их разность $A-B$:
$A - B = (100\ln 3 + \ln(\ln 2)) - (150\ln 2 + \ln(\ln 3)) = (100\ln 3 - 150\ln 2) - (\ln(\ln 3) - \ln(\ln 2))$.
$A - B = (\ln(3^{100}) - \ln(2^{150})) - \ln\left(\frac{\ln 3}{\ln 2}\right) = \ln\left(\frac{3^{100}}{2^{150}}\right) - \ln(\log_2 3)$.
Сравним $\frac{3^{100}}{2^{150}}$ и $\log_2 3$.
Преобразуем первое выражение: $\frac{3^{100}}{2^{150}} = \frac{3^{100}}{(2^{1.5})^{100}} = \frac{3^{100}}{(\sqrt{8})^{100}} = \left(\frac{3}{\sqrt{8}}\right)^{100} = \left(\frac{9}{8}\right)^{50}$.
Теперь сравним $\left(\frac{9}{8}\right)^{50}$ и $\log_2 3$.
Оценим $\left(\frac{9}{8}\right)^{50}$ с помощью неравенства Бернулли $(1+x)^n \ge 1+nx$ для $x > -1$ и $n \in \mathbb{N}$.
$\left(\frac{9}{8}\right)^{50} = \left(1+\frac{1}{8}\right)^{50} \ge 1 + 50 \cdot \frac{1}{8} = 1 + \frac{25}{4} = 1 + 6,25 = 7,25$.
Оценим $\log_2 3$. Так как $2^1 < 3 < 2^2$, то $1 < \log_2 3 < 2$.
Поскольку $7,25 > 2$, то $\left(\frac{9}{8}\right)^{50} > \log_2 3$.
Значит, $\ln\left(\frac{3^{100}}{2^{150}}\right) > \ln(\log_2 3)$, так как $\ln$ - возрастающая функция.
Это означает, что $A - B > 0$, то есть $A > B$.
$\ln(\ln(2^{3^{100}})) > \ln(\ln(3^{2^{150}}))$.
Так как логарифмическая функция монотонно возрастает, это влечет за собой $2^{3^{100}} > 3^{2^{150}}$.

Ответ: $2^{3^{100}} > 3^{2^{150}}$.

г) Сравним числа $\csc \frac{1}{2}$ и $4\left(1 - \sin\frac{1}{2}\right)$.
Пусть $x = \frac{1}{2}$ (угол в радианах). Нужно сравнить $\csc x$ и $4(1-\sin x)$.
Обозначим $s = \sin x = \sin \frac{1}{2}$. Тогда $\csc x = \frac{1}{s}$.
Сравниваем $\frac{1}{s}$ и $4(1-s)$.
Поскольку $0 < x = \frac{1}{2} < \frac{\pi}{2}$, то $s = \sin \frac{1}{2} > 0$.
Умножим обе части сравнения на положительное число $s$:
Сравниваем $1$ и $4s(1-s) = 4s - 4s^2$.
Перенесем все в левую часть: сравним $1 - 4s + 4s^2$ и $0$.
Выражение в левой части является полным квадратом: $1 - 4s + 4s^2 = (1 - 2s)^2$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(1 - 2s)^2 \ge 0$.
Равенство нулю достигается только если $1 - 2s = 0$, то есть $s = \frac{1}{2}$.
В нашем случае $s = \sin \frac{1}{2}$. Известно, что для любого $x > 0$ выполняется строгое неравенство $\sin x < x$.
Следовательно, для $x=\frac{1}{2}$ имеем $\sin \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$.
Значит, $s < \frac{1}{2}$, и $1-2s > 0$.
Поэтому $(1-2s)^2 > 0$.
Отсюда следует, что $1 > 4s(1-s)$.
Разделив на $s > 0$, получаем $\frac{1}{s} > 4(1-s)$.
Таким образом, $\csc \frac{1}{2} > 4\left(1 - \sin\frac{1}{2}\right)$.

Ответ: $\csc \frac{1}{2} > 4\left(1 - \sin\frac{1}{2}\right)$.