Номер 59, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 59, страница 320.

Условие.

59. Существует ли периодическая функция, у которой:

а) все рациональные числа являются периодами, а все иррациональные нет;

б) все иррациональные числа являются периодами, а все рациональные нет?

Решение 5.

а)

Да, такая функция существует. Рассмотрим, например, функцию Дирихле:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число } (x \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число } (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

Докажем, что эта функция удовлетворяет условиям задачи.

1. Проверим, являются ли все рациональные числа ее периодами.

Пусть $T$ — любое ненулевое рациональное число ($T \in \mathbb{Q}, T \neq 0$). Чтобы $T$ было периодом, должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два случая.Если $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$), то сумма $x+T$ также является рациональным числом, так как сумма двух рациональных чисел рациональна. Тогда по определению функции $f(x) = 1$ и $f(x+T) = 1$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется.

Если $x$ — иррациональное число ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$), то сумма $x+T$ также является иррациональным числом, так как сумма иррационального и рационального чисел иррациональна. Тогда по определению функции $f(x) = 0$ и $f(x+T) = 0$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ также выполняется.

Таким образом, для любого рационального $T \neq 0$ и любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется $f(x+T)=f(x)$. Следовательно, все рациональные числа являются периодами функции Дирихле.

2. Проверим, являются ли иррациональные числа периодами.

Пусть $p$ — любое иррациональное число ($p \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$). Чтобы $p$ не было периодом, достаточно найти хотя бы одно значение $x$, для которого равенство $f(x+p) = f(x)$ не выполняется.

Возьмем $x=0$. Число $x=0$ является рациональным, поэтому $f(x) = f(0) = 1$.

Сумма $x+p = 0+p = p$ является иррациональным числом. Поэтому $f(x+p) = f(p) = 0$.

Получаем, что $f(0+p) = 0$, а $f(0) = 1$. Так как $f(0+p) \neq f(0)$, число $p$ не является периодом функции.

Поскольку это рассуждение верно для любого иррационального числа $p$, ни одно иррациональное число не является периодом этой функции.

Следовательно, функция Дирихле удовлетворяет условию а).

Ответ: Да, существует.

б)

Нет, такой функции не существует. Докажем это от противного.

Предположим, что существует функция $f(x)$, у которой все иррациональные числа являются периодами, а все ненулевые рациональные числа — нет.

Известно, что если $T_1$ и $T_2$ — два периода функции $f(x)$, то их разность $T_1 - T_2$ (если она не равна нулю) также является периодом. Докажем это.По определению периода, $f(x+T_1) = f(x)$ и $f(x+T_2) = f(x)$ для любого $x \in \mathbb{R}$.Из второго равенства следует, что $f(y) = f(y-T_2)$, если подставить $y = z+T_2$.Тогда $f(x + (T_1 - T_2)) = f((x - T_2) + T_1)$. Обозначим $y = x - T_2$. Получим $f(y+T_1) = f(y) = f(x-T_2)$. Так как $f(x-T_2) = f(x)$, то $f(x + (T_1 - T_2)) = f(x)$. Это означает, что разность периодов также является периодом.

По условию задачи, все иррациональные числа являются периодами функции $f(x)$.

Возьмем два различных иррациональных числа, например, $T_1 = \sqrt{2}+1$ и $T_2 = \sqrt{2}$. Оба эти числа иррациональны и, по нашему предположению, являются периодами функции $f(x)$.

Тогда их разность $T = T_1 - T_2 = (\sqrt{2}+1) - \sqrt{2} = 1$ также должна быть периодом.

Однако число 1 является рациональным и не равно нулю. По условию задачи, ни одно ненулевое рациональное число не является периодом функции. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такой функции неверно.

Другое объяснение: множество всех периодов функции $f(x)$ вместе с числом 0 образует аддитивную подгруппу группы действительных чисел $(\mathbb{R},+)$. По условию, эта подгруппа должна была бы состоять из всех иррациональных чисел и нуля: $(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cup \{0\}$. Однако это множество не является подгруппой, так как оно не замкнуто относительно операции сложения. Например, числа $\sqrt{2}$ и $1-\sqrt{2}$ иррациональны, но их сумма $\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})=1$ рациональна и не принадлежит этому множеству.

Ответ: Нет, не существует.