Номер 55, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 55, страница 320.

Условие.

55. Является ли четной (или нечетной) функция:

а) $f(x) = \frac{e^{-x} - 1}{x^x + 1};$

б) $f(x) = \log_a (x + \sqrt{x^2 + 1});$

в) $f(x) = \frac{\sqrt[3]{(x + 5)^2} - \sqrt[3]{(x - 5)^2}}{x \cos x};$

г) $f(x) = \log_a \left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)?$

Решение 3.

Решение 5.

а) $f(x) = \frac{e^{-x} - 1}{x^x + 1}$

Для исследования функции на четность или нечетность, в первую очередь необходимо найти ее область определения $D(f)$.

Функция $g(x) = x^x$ определяется как $g(x) = e^{x \ln x}$. Для существования натурального логарифма $\ln x$ необходимо, чтобы его аргумент был строго положителен, то есть $x > 0$.

Таким образом, область определения для $f(x)$ также должна удовлетворять условию $x > 0$. Знаменатель $x^x + 1$ при $x > 0$ всегда положителен и не обращается в ноль.

Итак, область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Область определения $D(f) = (0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=2$ принадлежит области определения, а точка $x=-2$ — нет). Следовательно, данная функция не может быть ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

б) $f(x) = \log_a (x + \sqrt{x^2 + 1})$

1. Найдем область определения $D(f)$. Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$.

Поскольку $\sqrt{x^2 + 1} > \sqrt{x^2} = |x|$, то $x + \sqrt{x^2 + 1} > x + |x|$.

Если $x \ge 0$, то $x + |x| = 2x \ge 0$. Выражение $x + \sqrt{x^2 + 1}$ строго больше, чем $2x$, и, следовательно, положительно (при $x=0$ оно равно 1).

Если $x < 0$, то $-x > 0$. Неравенство $x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$ равносильно $\sqrt{x^2 + 1} > -x$. Так как обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат: $x^2 + 1 > (-x)^2$, что дает $x^2 + 1 > x^2$, или $1 > 0$. Это верное неравенство.

Таким образом, выражение $x + \sqrt{x^2 + 1}$ положительно для всех действительных $x$. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение условия $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \log_a (-x + \sqrt{(-x)^2 + 1}) = \log_a (-x + \sqrt{x^2 + 1})$.

Преобразуем аргумент логарифма, умножив и разделив его на сопряженное выражение $(x + \sqrt{x^2 + 1})$:

$-x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{(-x + \sqrt{x^2 + 1})(x + \sqrt{x^2 + 1})}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(\sqrt{x^2+1})^2 - x^2}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2+1-x^2}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}}$.

Подставим это обратно в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \log_a \left(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}\right) = \log_a ((x + \sqrt{x^2 + 1})^{-1})$.

Используя свойство логарифма $\log_b (c^p) = p \log_b c$, получаем:

$f(-x) = -1 \cdot \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -f(x)$.

Так как $D(f)$ симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

в) $f(x) = \frac{\sqrt[3]{(x+5)^2} - \sqrt[3]{(x-5)^2}}{x \cos x}$

1. Найдем область определения $D(f)$. Выражения под кубическим корнем определены для любых $x$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \cos x \neq 0$.

Это означает, что $x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Условие $\cos x \neq 0$ выполняется, если $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.

Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \}$. Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x$ принадлежит $D(f)$, то и $-x$ также принадлежит $D(f)$ (поскольку $-x \neq 0$ и $\cos(-x) = \cos x \neq 0$).

2. Проверим выполнение условия четности/нечетности. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sqrt[3]{(-x+5)^2} - \sqrt[3]{(-x-5)^2}}{(-x) \cos(-x)}$.

Упростим выражения в числителе и знаменателе: $(-x+5)^2 = (5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$; $(-x-5)^2 = (-(x+5))^2 = (x+5)^2$; $\cos(-x) = \cos x$.

Подставляя эти выражения, получаем:

$f(-x) = \frac{\sqrt[3]{(x-5)^2} - \sqrt[3]{(x+5)^2}}{-x \cos x} = \frac{-(\sqrt[3]{(x+5)^2} - \sqrt[3]{(x-5)^2})}{-x \cos x}$.

Сокращая знак "минус" в числителе и знаменателе, имеем:

$f(-x) = \frac{\sqrt[3]{(x+5)^2} - \sqrt[3]{(x-5)^2}}{x \cos x} = f(x)$.

Так как $D(f)$ симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

г) $f(x) = \log_a \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

1. Найдем область определения $D(f)$. Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $\frac{x+1}{x-1} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя, $x=-1$ и $x=1$, разбивают числовую ось на интервалы. Проверяя знак дроби на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$, находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение условия четности/нечетности. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \log_a \left(\frac{-x+1}{-x-1}\right)$.

Преобразуем аргумент логарифма:

$\frac{-x+1}{-x-1} = \frac{-(x-1)}{-(x+1)} = \frac{x-1}{x+1} = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{-1}$.

Подставим это обратно в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \log_a \left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{-1}\right)$.

Используя свойство логарифма $\log_b (c^p) = p \log_b c$, получаем:

$f(-x) = -1 \cdot \log_a \left(\frac{x+1}{x-1}\right) = -f(x)$.

Так как $D(f)$ симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.