Номер 52, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 52, страница 320.

Условие.

52. Область определения функции $y = f (x)$ — отрезок $[-1; 2]$.

Найдите область определения функции:

а) $y = f (x) + 1$;

б) $y = f (x + 1)$;

в) $y = 2f (x)$;

г) $y = f (2x)$;

д) $y = f (-x)$;

е) $y = -f (x)$;

ж) $y = |f (x)|$;

з) $y = f (|x|)$;

и) $y = f (1 - x)$;

к) $y = f (1 - |x|)$;

л) $y = f (\sqrt{x})$;

м) $y = f (x^2)$.

Решение 3.

Решение 5.

По условию, область определения функции $y = f(x)$ — это отрезок $[-1; 2]$. Это означает, что для любой функции вида $y = f(g(x))$, ее область определения будет найдена из условия, что значение выражения $g(x)$ (аргумента функции $f$) должно принадлежать отрезку $[-1; 2]$. То есть, мы должны решить неравенство $-1 \le g(x) \le 2$ относительно переменной $x$.

а) $y = f(x) + 1$

В данном случае аргументом функции $f$ является $x$. Преобразование $f(x) + 1$ является сдвигом графика функции вдоль оси ординат и не влияет на область определения. Таким образом, область определения остается такой же, как и у исходной функции.

$-1 \le x \le 2$

Ответ: $[-1; 2]$

б) $y = f(x + 1)$

Аргументом функции является выражение $x + 1$. Значит, должно выполняться условие:

$-1 \le x + 1 \le 2$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1 - 1 \le x \le 2 - 1$

$-2 \le x \le 1$

Ответ: $[-2; 1]$

в) $y = 2f(x)$

Аргументом функции $f$ является $x$. Умножение значения функции на 2 является растяжением графика вдоль оси ординат и не влияет на область определения.

$-1 \le x \le 2$

Ответ: $[-1; 2]$

г) $y = f(2x)$

Аргументом функции является выражение $2x$. Значит, должно выполняться условие:

$-1 \le 2x \le 2$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x \le 1$

Ответ: $[-0,5; 1]$

д) $y = f(-x)$

Аргументом функции является выражение $-x$. Значит, должно выполняться условие:

$-1 \le -x \le 2$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$1 \ge x \ge -2$

Что эквивалентно $-2 \le x \le 1$.

Ответ: $[-2; 1]$

е) $y = -f(x)$

Аргументом функции $f$ является $x$. Преобразование $-f(x)$ является отражением графика функции относительно оси абсцисс и не влияет на область определения.

$-1 \le x \le 2$

Ответ: $[-1; 2]$

ж) $y = |f(x)|$

Аргументом функции $f$ является $x$. Взятие модуля от значения функции не влияет на область определения, так как это преобразование применяется к значениям $y$, а не к аргументам $x$.

$-1 \le x \le 2$

Ответ: $[-1; 2]$

з) $y = f(|x|)$

Аргументом функции является выражение $|x|$. Значит, должно выполняться условие:

$-1 \le |x| \le 2$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств: $|x| \ge -1$ и $|x| \le 2$. Неравенство $|x| \ge -1$ верно для любого действительного $x$, так как модуль всегда неотрицателен. Решением неравенства $|x| \le 2$ является отрезок $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $[-2; 2]$

и) $y = f(1 - x)$

Аргументом функции является выражение $1 - x$. Значит, должно выполняться условие:

$-1 \le 1 - x \le 2$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 \le -x \le 1$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$2 \ge x \ge -1$

Что эквивалентно $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $[-1; 2]$

к) $y = f(1 - |x|)$

Аргументом функции является выражение $1 - |x|$. Значит, должно выполняться условие:

$-1 \le 1 - |x| \le 2$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 \le -|x| \le 1$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$2 \ge |x| \ge -1$

Это эквивалентно системе $|x| \le 2$ и $|x| \ge -1$. Второе неравенство верно для всех $x$. Решением первого является $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $[-2; 2]$

л) $y = f(\sqrt{x})$

Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Во-вторых, аргумент функции $f$, то есть $\sqrt{x}$, должен принадлежать отрезку $[-1; 2]$:

$-1 \le \sqrt{x} \le 2$

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ по определению, левая часть неравенства ($-1 \le \sqrt{x}$) выполняется всегда. Остается решить неравенство:

$0 \le \sqrt{x} \le 2$

Возведем все части в квадрат:

$0 \le x \le 4$

Объединяя с условием $x \ge 0$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $[0; 4]$

м) $y = f(x^2)$

Аргументом функции является выражение $x^2$. Значит, должно выполняться условие:

$-1 \le x^2 \le 2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе $x^2 \ge -1$ и $x^2 \le 2$. Неравенство $x^2 \ge -1$ верно для любого действительного $x$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Остается решить неравенство:

$x^2 \le 2$

Это равносильно $|x| \le \sqrt{2}$, то есть $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

Ответ: $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$