Номер 46, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 46, страница 319.

Условие.

46. Числа $x, y, z$ (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа $x + y, y + z, z + x$ — арифметическую. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $q$ – знаменатель геометрической прогрессии, членами которой являются числа $x, y, z$. Тогда эти числа можно выразить через первый член $x$ и знаменатель $q$:
$y = xq$
$z = xq^2$

По условию задачи, числа $a_1 = x+y$, $a_2 = y+z$ и $a_3 = z+x$ образуют арифметическую прогрессию.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех последовательных членов состоит в том, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних членов:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
Или, в другом виде:
$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим в это равенство выражения для членов арифметической прогрессии:
$2(y+z) = (x+y) + (z+x)$

Упростим полученное уравнение:
$2y + 2z = 2x + y + z$
$2y - y + 2z - z = 2x$
$y + z = 2x$

Теперь заменим $y$ и $z$ их выражениями через $x$ и $q$ из определения геометрической прогрессии:
$xq + xq^2 = 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$xq^2 + xq - 2x = 0$
$x(q^2 + q - 2) = 0$

Это уравнение истинно, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1. $x=0$. Если первый член прогрессии равен нулю, то $y=0$ и $z=0$. Геометрическая прогрессия — это $0, 0, 0$. Арифметическая прогрессия — это $(0+0), (0+0), (0+0)$, то есть $0, 0, 0$. Условия задачи выполняются, но знаменатель $q$ в этом случае не определен однозначно ($y/x = 0/0$). Поэтому обычно в таких задачах рассматривают случай, когда $x \neq 0$.

2. $x \neq 0$. В этом случае для выполнения равенства $x(q^2 + q - 2) = 0$ необходимо, чтобы выражение в скобках было равно нулю:
$q^2 + q - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $q$. Мы можем решить его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются числа $1$ и $-2$.
$q_1 = 1$
$q_2 = -2$

Оба значения являются решением задачи:

- При $q=1$ геометрическая прогрессия имеет вид $x, x, x$ (все члены равны). Арифметическая прогрессия тогда будет $(x+x), (x+x), (x+x)$, то есть $2x, 2x, 2x$. Это является арифметической прогрессией с разностью $d=0$.

- При $q=-2$ геометрическая прогрессия имеет вид $x, -2x, 4x$. Арифметическая прогрессия будет $(x-2x), (-2x+4x), (4x+x)$, то есть $-x, 2x, 5x$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=3x$.

Поскольку в условии задачи не сказано, что члены прогрессии должны быть различны, оба найденных значения знаменателя являются правильными.

Ответ: -2; 1.