Номер 40, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 40, страница 318.

Условие.

40. а) Докажите, что $2^{\sqrt{\log_2 x}} = x^{\sqrt{\log_x 2}}$, если $x > 1$.

б) Вычислите без таблиц: $2^{\sqrt{\log_2 3}} - 3^{\sqrt{\log_3 2}}$.

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажем тождество $2^{\sqrt{\log_2 x}} = x^{\sqrt{\log_x 2}}$ при условии $x > 1$.Для этого преобразуем левую часть равенства.Используя свойство $a = b^{\log_b a}$, представим число 2 как степень с основанием $x$: $2 = x^{\log_x 2}$.Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:$2^{\sqrt{\log_2 x}} = (x^{\log_x 2})^{\sqrt{\log_2 x}}$По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:$x^{\log_x 2 \cdot \sqrt{\log_2 x}}$Теперь преобразуем показатель степени $\log_x 2 \cdot \sqrt{\log_2 x}$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_2 x = \frac{1}{\log_x 2}$.Подставим это в показатель степени:$\log_x 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{\log_x 2}} = \log_x 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\log_x 2}} = \frac{(\sqrt{\log_x 2})^2}{\sqrt{\log_x 2}} = \sqrt{\log_x 2}$.Таким образом, левая часть тождества была преобразована к виду $x^{\sqrt{\log_x 2}}$, что равно правой части.Условие $x > 1$ гарантирует, что $\log_2 x > 0$ и $\log_x 2 > 0$, поэтому все логарифмические выражения и выражения под корнем определены и положительны. Тождество доказано.Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется вычислить значение выражения $2^{\sqrt{\log_2 3}} - 3^{\sqrt{\log_3 2}}$.Воспользуемся тождеством, доказанным в пункте а): $a^{\sqrt{\log_a b}} = b^{\sqrt{\log_b a}}$ (здесь мы заменили $2$ на $a$ и $x$ на $b$ для общности).Применим это тождество для нашего случая, положив $a=2$ и $b=3$. Условия $a > 1$ и $b > 1$ выполняются.Согласно тождеству, мы имеем:$2^{\sqrt{\log_2 3}} = 3^{\sqrt{\log_3 2}}$Это означает, что уменьшаемое и вычитаемое в заданном выражении равны между собой. Следовательно, их разность равна нулю.$2^{\sqrt{\log_2 3}} - 3^{\sqrt{\log_3 2}} = 0$.Ответ: 0.