Номер 33, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 33, страница 317.

Условие.

33. Докажите равенство:

a) $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $ для любого $ x \in [-1; 1] $;

б) $ \operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} $;

в) $ \cos (\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $;

г) $ \operatorname{tg} (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $ для любого $ x \in [-1; 1] $ и $ x \neq 0 $.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Пусть $\alpha = \arcsin x$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = x$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Используем тригонометрическое тождество: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$. Подставив $\sin \alpha = x$, получим $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$.

Теперь нам нужно определить диапазон значений для угла $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Так как $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, то, умножив на $-1$, получим $-\frac{\pi}{2} \le -\alpha \le \frac{\pi}{2}$. Прибавив $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства, имеем: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, что дает $0 \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \pi$.

Этот диапазон $[0, \pi]$ является областью значений функции арккосинус. Следовательно, из равенства $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$ и того, что $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in [0, \pi]$, по определению арккосинуса следует, что $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

Подставив обратно $\alpha = \arcsin x$, получаем: $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$. Перенеся $\arcsin x$ в левую часть, мы доказываем искомое равенство: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Это равенство справедливо для всех $x$ из области определения $[-1; 1]$.

Ответ: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in [-1; 1]$.

б)

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg} \alpha = x$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Используем тригонометрическое тождество: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{tg} \alpha$. Подставив $\operatorname{tg} \alpha = x$, получим $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$.

Определим диапазон значений для угла $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Так как $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то, умножив на $-1$, получим $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < \frac{\pi}{2}$. Прибавив $\frac{\pi}{2}$, имеем: $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$, что дает $0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \pi$.

Этот диапазон $(0, \pi)$ является областью значений функции арккотангенс. Следовательно, из равенства $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$ и того, что $(\frac{\pi}{2} - \alpha) \in (0, \pi)$, по определению арккотангенса следует, что $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

Подставив обратно $\alpha = \operatorname{arctg} x$, получаем: $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} x$. Перенеся $\operatorname{arctg} x$ в левую часть, мы доказываем искомое равенство: $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$.

в)

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, $\operatorname{tg} \alpha = x$ и $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Нам нужно найти $\cos(\operatorname{arctg} x)$, то есть $\cos \alpha$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Подставив $\operatorname{tg} \alpha = x$, получим: $1 + x^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

Отсюда выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + x^2}$. Тогда $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{1 + x^2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

Чтобы выбрать правильный знак, рассмотрим область значений $\alpha = \operatorname{arctg} x$. Угол $\alpha$ лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, что соответствует I и IV координатным четвертям. В этих четвертях косинус всегда положителен ($\cos \alpha > 0$).

Следовательно, мы должны выбрать знак плюс: $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Подставив $\alpha = \operatorname{arctg} x$, получаем требуемое равенство.

Ответ: $\cos(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

г)

Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению арккосинуса, $\cos \alpha = x$ и $\alpha \in [0, \pi]$. Нам нужно найти $\operatorname{tg}(\arccos x)$, то есть $\operatorname{tg} \alpha$. По определению тангенса, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Мы уже знаем, что $\cos \alpha = x$. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - x^2$. Отсюда $\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - x^2}$.

Чтобы выбрать знак, рассмотрим область значений $\alpha = \arccos x$. Угол $\alpha$ лежит в отрезке $[0, \pi]$, что соответствует I и II координатным четвертям. В этих четвертях синус всегда неотрицателен ($\sin \alpha \ge 0$).

Следовательно, мы должны выбрать знак плюс: $\sin \alpha = \sqrt{1 - x^2}$. Заметим, что $x \in [-1, 1]$, поэтому выражение под корнем $1-x^2$ всегда неотрицательно.

Теперь мы можем найти тангенс: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$. Это выражение определено для всех $x \in [-1, 1]$, кроме $x=0$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$ для любого $x \in [-1; 1]$ и $x \ne 0$.