Номер 34, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 34, страница 318.

Условие.

Вычислите (34—35).

34. а) $ \frac{1}{\cos 290^\circ} + \frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^\circ}; $

б) $ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha $, если $ \sin \alpha + \cos \alpha = m; $

в) $ \cos 84^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 12^\circ; $

г) $ \cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha $, если $ \cos 2\alpha = m. $

Решение 3.

Решение 5.

а)

Преобразуем выражение, используя формулы приведения:

$\cos 290^\circ = \cos(360^\circ - 70^\circ) = \cos 70^\circ$

$\sin 250^\circ = \sin(180^\circ + 70^\circ) = -\sin 70^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{1}{\cos 290^\circ} + \frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^\circ} = \frac{1}{\cos 70^\circ} - \frac{1}{\sqrt{3} \sin 70^\circ}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sqrt{3} \sin 70^\circ - \cos 70^\circ}{\sqrt{3} \sin 70^\circ \cos 70^\circ}$

Преобразуем числитель с помощью формулы вспомогательного аргумента $a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x \pm \phi)$.

$\sqrt{3} \sin 70^\circ - \cos 70^\circ = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 70^\circ - \frac{1}{2} \cos 70^\circ) = 2(\cos 30^\circ \sin 70^\circ - \sin 30^\circ \cos 70^\circ)$

Используя формулу синуса разности $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$, получаем:

$2 \sin(70^\circ - 30^\circ) = 2 \sin 40^\circ$

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$\sqrt{3} \sin 70^\circ \cos 70^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin 70^\circ \cos 70^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2 \cdot 70^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 140^\circ$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 140^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ}{\sqrt{3} \sin 140^\circ}$

Так как $\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$, то:

$\frac{4 \sin 40^\circ}{\sqrt{3} \sin 40^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

б)

Для вычисления $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$ воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)((\sin^2 \alpha)^2 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + (\cos^2 \alpha)^2)$

Поскольку $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается до:

$\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha$

Сгруппируем члены: $(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Преобразуем $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Подставив это обратно, получим: $(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3(\sin \alpha \cos \alpha)^2$.

Теперь найдем значение $\sin \alpha \cos \alpha$ из условия $\sin \alpha + \cos \alpha = m$.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = m^2$

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = m^2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = m^2 - 1 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{m^2 - 1}{2}$

Подставим это значение в наше выражение:

$1 - 3\left(\frac{m^2 - 1}{2}\right)^2 = 1 - 3\frac{(m^2 - 1)^2}{4} = 1 - \frac{3(m^4 - 2m^2 + 1)}{4}$

$\frac{4 - (3m^4 - 6m^2 + 3)}{4} = \frac{4 - 3m^4 + 6m^2 - 3}{4} = \frac{1 + 6m^2 - 3m^4}{4}$

Ответ: $\frac{1 + 6m^2 - 3m^4}{4}$

в)

Обозначим искомое произведение как $P$. Переставим множители для удобства:

$P = \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ$

Умножим и разделим выражение на $2 \sin 12^\circ$ и последовательно применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$P = \frac{(2 \sin 12^\circ \cos 12^\circ) \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\sin 24^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ}$

$P = \frac{\frac{1}{2}(2 \sin 24^\circ \cos 24^\circ) \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 48^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ}$

$P = \frac{\frac{1}{4}(2 \sin 48^\circ \cos 48^\circ) \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\frac{1}{4} \sin 96^\circ \cos 84^\circ}{2 \sin 12^\circ} = \frac{\sin 96^\circ \cos 84^\circ}{8 \sin 12^\circ}$

Теперь преобразуем числитель, используя формулу произведения синуса на косинус $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$:

$\sin 96^\circ \cos 84^\circ = \frac{1}{2}(\sin(96^\circ + 84^\circ) + \sin(96^\circ - 84^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 180^\circ + \sin 12^\circ)$

Так как $\sin 180^\circ = 0$, числитель равен $\frac{1}{2} \sin 12^\circ$.

Подставим это значение обратно в выражение для $P$:

$P = \frac{\frac{1}{2} \sin 12^\circ}{8 \sin 12^\circ} = \frac{1/2}{8} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

г)

Разложим выражение $\cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ дважды:

$\cos^8 \alpha - \sin^8 \alpha = (\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha)(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$

$= (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Выражение принимает вид: $\cos(2\alpha) \cdot 1 \cdot (\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) = \cos(2\alpha)(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$.

Теперь преобразуем второй множитель:

$\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha = 1 - 2(\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$.

$1 - 2\left(\frac{\sin 2\alpha}{2}\right)^2 = 1 - 2\frac{\sin^2 2\alpha}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2\alpha}{2}$

Подставим $\sin^2 2\alpha = 1 - \cos^2 2\alpha$:

$1 - \frac{1 - \cos^2 2\alpha}{2} = \frac{2 - (1 - \cos^2 2\alpha)}{2} = \frac{2 - 1 + \cos^2 2\alpha}{2} = \frac{1 + \cos^2 2\alpha}{2}$

Итак, исходное выражение равно:

$\cos(2\alpha) \cdot \frac{1 + \cos^2 2\alpha}{2}$

Подставляем условие $\cos 2\alpha = m$:

$m \cdot \frac{1 + m^2}{2} = \frac{m(1 + m^2)}{2}$

Ответ: $\frac{m(1 + m^2)}{2}$