Номер 30, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 30, страница 317.

Условие.

30. Докажите тождество:

$(a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (ax + by)^2 + (ay - bx)^2$

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны. Мы преобразуем правую часть равенства и приведем ее к виду левой части.

Исходное тождество: $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax + by)^2 + (ay - bx)^2$.

Рассмотрим правую часть: $(ax + by)^2 + (ay - bx)^2$.

Для раскрытия скобок воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(p+q)^2 = p^2+2pq+q^2$ и квадратом разности $(p-q)^2 = p^2-2pq+q^2$.

Раскроем первое слагаемое:

$(ax + by)^2 = (ax)^2 + 2(ax)(by) + (by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$.

Раскроем второе слагаемое:

$(ay - bx)^2 = (ay)^2 - 2(ay)(bx) + (bx)^2 = a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2) + (a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2) = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2abxy$ и $-2abxy$ взаимно уничтожаются:

$a^2x^2 + b^2y^2 + a^2y^2 + b^2x^2$.

Сгруппируем слагаемые для дальнейшего упрощения:

$(a^2x^2 + a^2y^2) + (b^2x^2 + b^2y^2)$.

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: $a^2$ в первой и $b^2$ во второй.

$a^2(x^2 + y^2) + b^2(x^2 + y^2)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$ за скобки:

$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$.

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, мы доказали, что правая часть тождества равна левой.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате алгебраических преобразований правая часть была приведена к виду левой части: $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$.