Номер 30, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 30, страница 317.
№30 (с. 317)
Условие. №30 (с. 317)
скриншот условия

30. Докажите тождество:
$(a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (ax + by)^2 + (ay - bx)^2$
Решение 3. №30 (с. 317)

Решение 5. №30 (с. 317)
Для доказательства тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны. Мы преобразуем правую часть равенства и приведем ее к виду левой части.
Исходное тождество: $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax + by)^2 + (ay - bx)^2$.
Рассмотрим правую часть: $(ax + by)^2 + (ay - bx)^2$.
Для раскрытия скобок воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(p+q)^2 = p^2+2pq+q^2$ и квадратом разности $(p-q)^2 = p^2-2pq+q^2$.
Раскроем первое слагаемое:
$(ax + by)^2 = (ax)^2 + 2(ax)(by) + (by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$.
Раскроем второе слагаемое:
$(ay - bx)^2 = (ay)^2 - 2(ay)(bx) + (bx)^2 = a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2) + (a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2) = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2 + a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2$.
Приведем подобные слагаемые. Члены $2abxy$ и $-2abxy$ взаимно уничтожаются:
$a^2x^2 + b^2y^2 + a^2y^2 + b^2x^2$.
Сгруппируем слагаемые для дальнейшего упрощения:
$(a^2x^2 + a^2y^2) + (b^2x^2 + b^2y^2)$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: $a^2$ в первой и $b^2$ во второй.
$a^2(x^2 + y^2) + b^2(x^2 + y^2)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$ за скобки:
$(a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$.
Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, мы доказали, что правая часть тождества равна левой.
Ответ: Тождество доказано, так как в результате алгебраических преобразований правая часть была приведена к виду левой части: $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 30 расположенного на странице 317 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №30 (с. 317), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.