Номер 32, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 32, страница 317.

Условие.

32. Известно, что $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, причем $\alpha, \beta, \gamma$ положительны

Докажите тождество:

a) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$;

б) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$;

в) $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$;

г) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.

Решение 3.

Решение 5.

Докажем тождества, используя условие $α + β + γ = π$, где $α, β, γ$ — положительные углы (углы треугольника).

Из этого условия следуют полезные соотношения:

• $α + β = π - γ$, откуда $cos(α + β) = -cos γ$ и $sin(α + β) = sin γ$.
• $\frac{α + β}{2} = \frac{π}{2} - \frac{γ}{2}$, откуда $cos(\frac{α + β}{2}) = sin\frac{γ}{2}$ и $sin(\frac{α + β}{2}) = cos\frac{γ}{2}$.

а) Докажем тождество $sin α + sin β + sin γ = 4 cos\frac{α}{2} cos\frac{β}{2} cos\frac{γ}{2}$.

Рассмотрим левую часть равенства. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов:

$(sin α + sin β) + sin γ = 2 sin\frac{α + β}{2} cos\frac{α - β}{2} + sin γ$.

Применим к последнему слагаемому формулу синуса двойного угла $sin γ = 2 sin\frac{γ}{2} cos\frac{γ}{2}$:

$2 sin\frac{α + β}{2} cos\frac{α - β}{2} + 2 sin\frac{γ}{2} cos\frac{γ}{2}$.

Используем соотношение $\frac{α + β}{2} = \frac{π}{2} - \frac{γ}{2}$, откуда $sin\frac{α + β}{2} = sin(\frac{π}{2} - \frac{γ}{2}) = cos\frac{γ}{2}$.

Подставим это в выражение:

$2 cos\frac{γ}{2} cos\frac{α - β}{2} + 2 sin\frac{γ}{2} cos\frac{γ}{2}$.

Вынесем общий множитель $2 cos\frac{γ}{2}$ за скобки:

$2 cos\frac{γ}{2} (cos\frac{α - β}{2} + sin\frac{γ}{2})$.

Теперь используем соотношение $\frac{γ}{2} = \frac{π}{2} - \frac{α + β}{2}$, откуда $sin\frac{γ}{2} = sin(\frac{π}{2} - \frac{α + β}{2}) = cos\frac{α + β}{2}$.

Подставим в скобки:

$2 cos\frac{γ}{2} (cos\frac{α - β}{2} + cos\frac{α + β}{2})$.

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов:

$cos\frac{α - β}{2} + cos\frac{α + β}{2} = 2 cos(\frac{\frac{α - β}{2} + \frac{α + β}{2}}{2}) cos(\frac{\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}}{2}) = 2 cos\frac{α}{2} cos\frac{β}{2}$.

Подставив результат в наше выражение, получаем:

$2 cos\frac{γ}{2} (2 cos\frac{α}{2} cos\frac{β}{2}) = 4 cos\frac{α}{2} cos\frac{β}{2} cos\frac{γ}{2}$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: $sin α + sin β + sin γ = 4 cos\frac{α}{2} cos\frac{β}{2} cos\frac{γ}{2}$.

б) Докажем тождество $cos^2 α + cos^2 β + cos^2 γ = 1 - 2 cos α cos β cos γ$.

Преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $cos^2 x = \frac{1+cos(2x)}{2}$:

$cos^2 α + cos^2 β + cos^2 γ = \frac{1 + cos(2α)}{2} + \frac{1 + cos(2β)}{2} + cos^2 γ = 1 + \frac{1}{2}(cos(2α) + cos(2β)) + cos^2 γ$.

Применим к сумме косинусов формулу преобразования суммы в произведение:

$cos(2α) + cos(2β) = 2 cos\frac{2α+2β}{2} cos\frac{2α-2β}{2} = 2 cos(α+β)cos(α-β)$.

Подставим обратно в выражение:

$1 + \frac{1}{2}(2 cos(α+β)cos(α-β)) + cos^2 γ = 1 + cos(α+β)cos(α-β) + cos^2 γ$.

Из условия $α+β+γ=π$ следует, что $α+β = π-γ$, и $cos(α+β) = cos(π-γ) = -cosγ$.

Заменяем $cos(α+β)$:

$1 - cosγ \cdot cos(α-β) + cos^2 γ$.

Вынесем $-cosγ$ за скобки:

$1 - cosγ(cos(α-β) - cosγ)$.

Вновь используем $cosγ = -cos(α+β)$:

$1 - cosγ(cos(α-β) - (-cos(α+β))) = 1 - cosγ(cos(α-β) + cos(α+β))$.

Выражение в скобках по формуле преобразования суммы в произведение равно $2cosαcosβ$.

Окончательно получаем:

$1 - cosγ(2cosαcosβ) = 1 - 2cosαcosβcosγ$.

Тождество доказано.

Ответ: $cos^2 α + cos^2 β + cos^2 γ = 1 - 2 cos α cos β cos γ$.

в) Докажем тождество $cos 2α + cos 2β + cos 2γ = -1 - 4 cos α cos β cos γ$.

Преобразуем левую часть, сгруппировав первые два слагаемых и применив формулу суммы косинусов:

$(cos 2α + cos 2β) + cos 2γ = 2 cos(α+β)cos(α-β) + cos 2γ$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos 2γ = 2cos^2γ - 1$:

$2 cos(α+β)cos(α-β) + 2cos^2γ - 1$.

Из условия $α+β = π-γ$ следует $cos(α+β) = -cosγ$. Подставим в выражение:

$2(-cosγ)cos(α-β) + 2cos^2γ - 1 = -2cosγcos(α-β) + 2cos^2γ - 1$.

Вынесем за скобки общий множитель $-2cosγ$:

$-1 - 2cosγ(cos(α-β) - cosγ)$.

Заменим $cosγ$ на $-cos(α+β)$:

$-1 - 2cosγ(cos(α-β) - (-cos(α+β))) = -1 - 2cosγ(cos(α-β) + cos(α+β))$.

Сумма косинусов в скобках равна $2cosαcosβ$.

Подставив, получаем:

$-1 - 2cosγ(2cosαcosβ) = -1 - 4cosαcosβcosγ$.

Тождество доказано.

Ответ: $cos 2α + cos 2β + cos 2γ = -1 - 4 cos α cos β cos γ$.

г) Докажем тождество $sin^2 α + sin^2 β + sin^2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ$.

Это тождество можно доказать, используя результат пункта б). Так как $sin^2x = 1 - cos^2x$, то:

$sin^2 α + sin^2 β + sin^2 γ = (1-cos^2α) + (1-cos^2β) + (1-cos^2γ) = 3 - (cos^2α + cos^2β + cos^2γ)$.

Из пункта б) мы знаем, что $cos^2α + cos^2β + cos^2γ = 1 - 2cosαcosβcosγ$. Подставляем:

$3 - (1 - 2cosαcosβcosγ) = 3 - 1 + 2cosαcosβcosγ = 2 + 2cosαcosβcosγ$.

Таким образом, тождество доказано.

Также можно доказать это тождество, используя результат пункта в). Применим формулу понижения степени $sin^2x=\frac{1-cos(2x)}{2}$:

$sin^2 α + sin^2 β + sin^2 γ = \frac{1-cos(2α)}{2} + \frac{1-cos(2β)}{2} + \frac{1-cos(2γ)}{2} = \frac{3 - (cos(2α)+cos(2β)+cos(2γ))}{2}$.

Из пункта в) имеем $cos(2α)+cos(2β)+cos(2γ) = -1 - 4cosαcosβcosγ$. Подставляем:

$\frac{3 - (-1 - 4cosαcosβcosγ)}{2} = \frac{3+1+4cosαcosβcosγ}{2} = \frac{4+4cosαcosβcosγ}{2} = 2 + 2cosαcosβcosγ$.

Тождество доказано.

Ответ: $sin^2 α + sin^2 β + sin^2 γ = 2 + 2 cos α cos β cos γ$.