Номер 39, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 39, страница 318.
№39 (с. 318)
Условие. №39 (с. 318)
скриншот условия

39. a) Найдите $\log_{xyz} u$, если $\log_x u = a$, $\log_y u = b$, $\log_z u = c$.
б) Найдите $\log_{54} 168$, если $\log_7 12 = a$, $\log_{12} 24 = b$.
Решение 3. №39 (с. 318)

Решение 5. №39 (с. 318)
а)
Нам нужно найти $\log_{xyz} u$, зная, что $\log_x u = a$, $\log_y u = b$ и $\log_z u = c$.
Для решения этой задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_k m = \frac{1}{\log_m k}$.
Из данных условий выразим логарифмы по основанию $u$:
$\log_x u = a \implies \log_u x = \frac{1}{a}$
$\log_y u = b \implies \log_u y = \frac{1}{b}$
$\log_z u = c \implies \log_u z = \frac{1}{c}$
Теперь преобразуем искомое выражение, также перейдя к основанию $u$:
$\log_{xyz} u = \frac{1}{\log_u (xyz)}$
Используем свойство логарифма произведения: $\log_k (mnp) = \log_k m + \log_k n + \log_k p$.
$\log_u (xyz) = \log_u x + \log_u y + \log_u z$
Подставим полученные ранее выражения:
$\log_u (xyz) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}$
Теперь подставим это выражение обратно в формулу для $\log_{xyz} u$:
$\log_{xyz} u = \frac{1}{\frac{ab + ac + bc}{abc}} = \frac{abc}{ab + ac + bc}$
Ответ: $\frac{abc}{ab + ac + bc}$
б)
Нам нужно найти $\log_{54} 168$, зная, что $\log_7 12 = a$ и $\log_{12} 24 = b$.
Стратегия решения заключается в том, чтобы выразить все логарифмы через логарифмы по одному основанию. В качестве общего основания удобно выбрать 7.
Из первого условия у нас уже есть $\log_7 12 = a$.
Преобразуем второе условие, используя формулу перехода к новому основанию $\log_k m = \frac{\log_n m}{\log_n k}$:
$\log_{12} 24 = \frac{\log_7 24}{\log_7 12} = b$
Подставим известное значение $\log_7 12 = a$:
$\frac{\log_7 24}{a} = b \implies \log_7 24 = ab$
Теперь разложим числа 12 и 24 на простые множители и используем свойства логарифмов, чтобы выразить $\log_7 2$ и $\log_7 3$ через $a$ и $b$.
$12 = 2^2 \cdot 3 \implies \log_7 12 = \log_7(2^2 \cdot 3) = 2\log_7 2 + \log_7 3 = a$
$24 = 2^3 \cdot 3 \implies \log_7 24 = \log_7(2^3 \cdot 3) = 3\log_7 2 + \log_7 3 = ab$
Получили систему из двух линейных уравнений с переменными $\log_7 2$ и $\log_7 3$:
$\begin{cases} 2\log_7 2 + \log_7 3 = a \\ 3\log_7 2 + \log_7 3 = ab \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(3\log_7 2 + \log_7 3) - (2\log_7 2 + \log_7 3) = ab - a$
$\log_7 2 = ab - a$
Теперь найдем $\log_7 3$, подставив найденное значение в первое уравнение:
$2(ab - a) + \log_7 3 = a$
$2ab - 2a + \log_7 3 = a$
$\log_7 3 = a - 2ab + 2a = 3a - 2ab$
Теперь перейдем к искомому выражению $\log_{54} 168$ и также представим его через логарифмы по основанию 7:
$\log_{54} 168 = \frac{\log_7 168}{\log_7 54}$
Разложим числа 168 и 54 на простые множители:
$168 = 8 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
Преобразуем числитель и знаменатель:
$\log_7 168 = \log_7(2^3 \cdot 3 \cdot 7) = 3\log_7 2 + \log_7 3 + \log_7 7 = 3\log_7 2 + \log_7 3 + 1$
$\log_7 54 = \log_7(2 \cdot 3^3) = \log_7 2 + 3\log_7 3$
Подставим выражения для $\log_7 2$ и $\log_7 3$:
Числитель: $3(ab - a) + (3a - 2ab) + 1 = 3ab - 3a + 3a - 2ab + 1 = ab + 1$
Знаменатель: $(ab - a) + 3(3a - 2ab) = ab - a + 9a - 6ab = 8a - 5ab$
Таким образом, получаем:
$\log_{54} 168 = \frac{ab + 1}{8a - 5ab}$
Ответ: $\frac{ab + 1}{8a - 5ab}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 39 расположенного на странице 318 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №39 (с. 318), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.