Номер 39, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 39, страница 318.

Условие.

39. a) Найдите $\log_{xyz} u$, если $\log_x u = a$, $\log_y u = b$, $\log_z u = c$.

б) Найдите $\log_{54} 168$, если $\log_7 12 = a$, $\log_{12} 24 = b$.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Нам нужно найти $\log_{xyz} u$, зная, что $\log_x u = a$, $\log_y u = b$ и $\log_z u = c$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_k m = \frac{1}{\log_m k}$.

Из данных условий выразим логарифмы по основанию $u$:

$\log_x u = a \implies \log_u x = \frac{1}{a}$

$\log_y u = b \implies \log_u y = \frac{1}{b}$

$\log_z u = c \implies \log_u z = \frac{1}{c}$

Теперь преобразуем искомое выражение, также перейдя к основанию $u$:

$\log_{xyz} u = \frac{1}{\log_u (xyz)}$

Используем свойство логарифма произведения: $\log_k (mnp) = \log_k m + \log_k n + \log_k p$.

$\log_u (xyz) = \log_u x + \log_u y + \log_u z$

Подставим полученные ранее выражения:

$\log_u (xyz) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для $\log_{xyz} u$:

$\log_{xyz} u = \frac{1}{\frac{ab + ac + bc}{abc}} = \frac{abc}{ab + ac + bc}$

Ответ: $\frac{abc}{ab + ac + bc}$

б)

Нам нужно найти $\log_{54} 168$, зная, что $\log_7 12 = a$ и $\log_{12} 24 = b$.

Стратегия решения заключается в том, чтобы выразить все логарифмы через логарифмы по одному основанию. В качестве общего основания удобно выбрать 7.

Из первого условия у нас уже есть $\log_7 12 = a$.

Преобразуем второе условие, используя формулу перехода к новому основанию $\log_k m = \frac{\log_n m}{\log_n k}$:

$\log_{12} 24 = \frac{\log_7 24}{\log_7 12} = b$

Подставим известное значение $\log_7 12 = a$:

$\frac{\log_7 24}{a} = b \implies \log_7 24 = ab$

Теперь разложим числа 12 и 24 на простые множители и используем свойства логарифмов, чтобы выразить $\log_7 2$ и $\log_7 3$ через $a$ и $b$.

$12 = 2^2 \cdot 3 \implies \log_7 12 = \log_7(2^2 \cdot 3) = 2\log_7 2 + \log_7 3 = a$

$24 = 2^3 \cdot 3 \implies \log_7 24 = \log_7(2^3 \cdot 3) = 3\log_7 2 + \log_7 3 = ab$

Получили систему из двух линейных уравнений с переменными $\log_7 2$ и $\log_7 3$:

$\begin{cases} 2\log_7 2 + \log_7 3 = a \\ 3\log_7 2 + \log_7 3 = ab \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(3\log_7 2 + \log_7 3) - (2\log_7 2 + \log_7 3) = ab - a$

$\log_7 2 = ab - a$

Теперь найдем $\log_7 3$, подставив найденное значение в первое уравнение:

$2(ab - a) + \log_7 3 = a$

$2ab - 2a + \log_7 3 = a$

$\log_7 3 = a - 2ab + 2a = 3a - 2ab$

Теперь перейдем к искомому выражению $\log_{54} 168$ и также представим его через логарифмы по основанию 7:

$\log_{54} 168 = \frac{\log_7 168}{\log_7 54}$

Разложим числа 168 и 54 на простые множители:

$168 = 8 \cdot 21 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$\log_7 168 = \log_7(2^3 \cdot 3 \cdot 7) = 3\log_7 2 + \log_7 3 + \log_7 7 = 3\log_7 2 + \log_7 3 + 1$

$\log_7 54 = \log_7(2 \cdot 3^3) = \log_7 2 + 3\log_7 3$

Подставим выражения для $\log_7 2$ и $\log_7 3$:

Числитель: $3(ab - a) + (3a - 2ab) + 1 = 3ab - 3a + 3a - 2ab + 1 = ab + 1$

Знаменатель: $(ab - a) + 3(3a - 2ab) = ab - a + 9a - 6ab = 8a - 5ab$

Таким образом, получаем:

$\log_{54} 168 = \frac{ab + 1}{8a - 5ab}$

Ответ: $\frac{ab + 1}{8a - 5ab}$