Номер 43, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 43, страница 318.

Условие.

43. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна -40, а сумма их квадратов равна 3280. Найдите эти числа.

Решение 5.

Пусть четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3, b_4$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде: $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$, $b_1q^3$.

Согласно условию задачи, сумма этих чисел равна $-40$:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = -40$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2 + q^3) = -40$

Сгруппируем слагаемые в скобках и разложим на множители:

$b_1((1+q) + q^2(1+q)) = -40$

$b_1(1+q)(1+q^2) = -40$ (1)

Также, по условию, сумма их квадратов равна 3280:

$b_1^2 + (b_1q)^2 + (b_1q^2)^2 + (b_1q^3)^2 = 3280$

Вынесем $b_1^2$ за скобки:

$b_1^2(1 + q^2 + q^4 + q^6) = 3280$

Сгруппируем слагаемые в скобках и разложим на множители:

$b_1^2((1+q^2) + q^4(1+q^2)) = 3280$

$b_1^2(1+q^2)(1+q^4) = 3280$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$. Возведем уравнение (1) в квадрат:

$(b_1(1+q)(1+q^2))^2 = (-40)^2$

$b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2 = 1600$ (3)

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (3). Это позволит нам исключить переменную $b_1$. (Заметим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$, иначе суммы не могли бы быть равны $-40$ и $3280$).

$\frac{b_1^2(1+q^2)(1+q^4)}{b_1^2(1+q)^2(1+q^2)^2} = \frac{3280}{1600}$

Сократим дроби:

$\frac{1+q^4}{(1+q)^2(1+q^2)} = \frac{328}{160} = \frac{41}{20}$

Раскроем скобки в знаменателе левой части:

$(1+q)^2(1+q^2) = (1+2q+q^2)(1+q^2) = 1+q^2+2q+2q^3+q^2+q^4 = q^4+2q^3+2q^2+2q+1$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$\frac{1+q^4}{q^4+2q^3+2q^2+2q+1} = \frac{41}{20}$

Применим правило пропорции:

$20(1+q^4) = 41(q^4+2q^3+2q^2+2q+1)$

$20+20q^4 = 41q^4+82q^3+82q^2+82q+41$

$21q^4+82q^3+82q^2+82q+21=0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $q=0$ не является корнем, разделим обе части на $q^2$:

$21q^2+82q+82+\frac{82}{q}+\frac{21}{q^2}=0$

Сгруппируем члены:

$21(q^2+\frac{1}{q^2}) + 82(q+\frac{1}{q}) + 82 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = q + \frac{1}{q}$. Тогда $y^2 = (q + \frac{1}{q})^2 = q^2+2+\frac{1}{q^2}$, откуда $q^2+\frac{1}{q^2} = y^2-2$. Подставим в уравнение:

$21(y^2-2) + 82y + 82 = 0$

$21y^2 - 42 + 82y + 82 = 0$

$21y^2 + 82y + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = 82^2 - 4(21)(40) = 6724 - 3360 = 3364 = 58^2$.

$y_1 = \frac{-82 - 58}{2 \cdot 21} = \frac{-140}{42} = -\frac{10}{3}$

$y_2 = \frac{-82 + 58}{2 \cdot 21} = \frac{-24}{42} = -\frac{4}{7}$

Теперь вернемся к переменной $q$.

Случай 1: $y = -\frac{10}{3}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{10}{3}$

$3q^2 + 3 = -10q \implies 3q^2 + 10q + 3 = 0$

Дискриминант $D_q = 10^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$q_1 = \frac{-10 - 8}{6} = -3$

$q_2 = \frac{-10 + 8}{6} = -\frac{1}{3}$

Случай 2: $y = -\frac{4}{7}$

$q + \frac{1}{q} = -\frac{4}{7}$

$7q^2 + 7 = -4q \implies 7q^2 + 4q + 7 = 0$

Дискриминант $D_q = 4^2 - 4(7)(7) = 16 - 196 = -180 < 0$. В этом случае действительных корней для $q$ нет.

Итак, мы имеем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q = -3$ и $q = -1/3$. Найдем соответствующий первый член $b_1$ для каждого из них, используя уравнение (1).

Если $q=-3$:

$b_1(1-3)(1+(-3)^2) = -40 \implies b_1(-2)(10) = -40 \implies -20b_1 = -40 \implies b_1=2$.

Тогда числа прогрессии: $2, 2(-3), 2(-3)^2, 2(-3)^3$, то есть $2, -6, 18, -54$.

Если $q=-1/3$:

$b_1(1-\frac{1}{3})(1+(-\frac{1}{3})^2) = -40 \implies b_1(\frac{2}{3})(\frac{10}{9}) = -40 \implies b_1\frac{20}{27} = -40 \implies b_1 = -54$.

Тогда числа прогрессии: $-54, -54(-\frac{1}{3}), -54(-\frac{1}{3})^2, -54(-\frac{1}{3})^3$, то есть $-54, 18, -6, 2$.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор чисел.

Ответ: искомые числа: $2, -6, 18, -54$ или $-54, 18, -6, 2$.