Номер 37, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 37, страница 318.

Условие.

37. Известно, что $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, $\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$. Докажите, что $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$, причем $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ необязательно положительные числа.

Решение 5.

Для доказательства воспользуемся данными условиями: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ и $\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$, такой что:

$\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c} = k$

Если $k = 0$, то $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = 0$. Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha = n\pi$, $\beta = m\pi$, $\gamma = p\pi$ для некоторых целых чисел $n, m, p$, таких что $n+m+p=1$. Если предположить, что $a, b, c$ не равны нулю, то равенства $\sin \alpha / a = 0$ и т.д. не могут выполняться. Если же принять, что при $\sin \alpha = 0$ и $a$ также равно нулю (и аналогично для других пар), то $a=b=c=0$. В этом тривиальном случае доказываемое равенство $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ превращается в $0 = 0 + 0 - 0$, что, очевидно, верно.

Рассмотрим основной случай, когда $k \neq 0$. В этом случае мы можем выразить $a, b, c$ через синусы соответствующих углов:

$a = \frac{\sin \alpha}{k}, \quad b = \frac{\sin \beta}{k}, \quad c = \frac{\sin \gamma}{k}$

Подставим эти выражения в правую часть доказываемого тождества $b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = \left(\frac{\sin \beta}{k}\right)^2 + \left(\frac{\sin \gamma}{k}\right)^2 - 2 \left(\frac{\sin \beta}{k}\right) \left(\frac{\sin \gamma}{k}\right) \cos \alpha$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{k^2}$:

$= \frac{1}{k^2} \left( \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha \right)$

Теперь воспользуемся условием $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, из которого следует $\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$. Для косинуса угла $\alpha$ имеем:

$\cos \alpha = \cos(\pi - (\beta + \gamma)) = -\cos(\beta + \gamma)$

Подставим это в выражение в скобках:

$\sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin \beta \sin \gamma (-\cos(\beta + \gamma)) = \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma \cos(\beta + \gamma)$

Докажем, что полученное выражение равно $\sin^2 \alpha$. Так как $\alpha = \pi - (\beta + \gamma)$, то $\sin \alpha = \sin(\pi - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$. Следовательно, нам нужно доказать, что $\sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma \cos(\beta + \gamma) = \sin^2(\beta + \gamma)$.

Рассмотрим правую часть этого предполагаемого равенства и раскроем квадрат синуса суммы:

$\sin^2(\beta + \gamma) = (\sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma)^2 = \sin^2 \beta \cos^2 \gamma + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma + \cos^2 \beta \sin^2 \gamma$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, заменим квадраты косинусов:

$= \sin^2 \beta (1 - \sin^2 \gamma) + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma + (1 - \sin^2 \beta) \sin^2 \gamma$

$= \sin^2 \beta - \sin^2 \beta \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma + \sin^2 \gamma - \sin^2 \beta \sin^2 \gamma$

$= \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin^2 \beta \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma$

Вынесем $2 \sin \beta \sin \gamma$ за скобки в последних двух слагаемых:

$= \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma (\cos \beta \cos \gamma - \sin \beta \sin \gamma)$

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы $\cos(\beta + \gamma)$. Таким образом, мы показали, что:

$\sin^2(\beta + \gamma) = \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \sin \beta \sin \gamma \cos(\beta + \gamma)$

Это подтверждает, что выражение $\sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha$ равно $\sin^2(\beta + \gamma)$, что, в свою очередь, равно $\sin^2 \alpha$.

Теперь вернемся к нашему исходному преобразованию:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = \frac{1}{k^2} (\sin^2 \alpha) = \left(\frac{\sin \alpha}{k}\right)^2$

Поскольку мы определили $a = \frac{\sin \alpha}{k}$, получаем:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = a^2$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Ответ: Равенство $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$ доказано на основе данных условий.