Номер 38, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 38, страница 318.

Условие.

38. Докажите, что $ \sin 47^{\circ} + \sin 61^{\circ} - \sin 11^{\circ} - \sin 25^{\circ} = \cos 7^{\circ} $

Решение 5.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$\sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ = (\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Для первой группы слагаемых:

$\sin 61^\circ + \sin 47^\circ = 2 \sin\left(\frac{61^\circ+47^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{61^\circ-47^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{108^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{14^\circ}{2}\right) = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ$

Для второй группы слагаемых:

$\sin 25^\circ + \sin 11^\circ = 2 \sin\left(\frac{25^\circ+11^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{25^\circ-11^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{36^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{14^\circ}{2}\right) = 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$

Подставим полученные выражения в исходное равенство:

$(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ) = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$

Вынесем общий множитель $2 \cos 7^\circ$ за скобки:

$2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$

Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

$\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos\left(\frac{54^\circ+18^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{54^\circ-18^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{72^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{36^\circ}{2}\right) = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ$

Подставим это обратно в наше выражение:

$2 \cos 7^\circ (2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ) = 4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ \cos 7^\circ$

Рассмотрим произведение $4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ$. Преобразуем его, домножив и разделив на $\cos 18^\circ$ (поскольку $\cos 18^\circ \neq 0$):

$4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \cdot (2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ) \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, получаем:

$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\sin (2 \cdot 36^\circ)}{\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{\cos 18^\circ}$

Применяя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, имеем:

$\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$

Следовательно:

$\frac{\sin 72^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} = 1$

Таким образом, мы показали, что $4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = 1$.

Возвращаясь к выражению для левой части исходного тождества, получаем:

$4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ \cos 7^\circ = 1 \cdot \cos 7^\circ = \cos 7^\circ$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.