Номер 38, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 38, страница 318.
№38 (с. 318)
Условие. №38 (с. 318)
скриншот условия

38. Докажите, что $ \sin 47^{\circ} + \sin 61^{\circ} - \sin 11^{\circ} - \sin 25^{\circ} = \cos 7^{\circ} $
Решение 5. №38 (с. 318)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$\sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ = (\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$
Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Для первой группы слагаемых:
$\sin 61^\circ + \sin 47^\circ = 2 \sin\left(\frac{61^\circ+47^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{61^\circ-47^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{108^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{14^\circ}{2}\right) = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ$
Для второй группы слагаемых:
$\sin 25^\circ + \sin 11^\circ = 2 \sin\left(\frac{25^\circ+11^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{25^\circ-11^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{36^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{14^\circ}{2}\right) = 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$
Подставим полученные выражения в исходное равенство:
$(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ) = 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$
Вынесем общий множитель $2 \cos 7^\circ$ за скобки:
$2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$
Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
$\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \cos\left(\frac{54^\circ+18^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{54^\circ-18^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{72^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{36^\circ}{2}\right) = 2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ$
Подставим это обратно в наше выражение:
$2 \cos 7^\circ (2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ) = 4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ \cos 7^\circ$
Рассмотрим произведение $4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ$. Преобразуем его, домножив и разделив на $\cos 18^\circ$ (поскольку $\cos 18^\circ \neq 0$):
$4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \cdot (2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ) \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}$
Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, получаем:
$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\sin (2 \cdot 36^\circ)}{\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{\cos 18^\circ}$
Применяя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, имеем:
$\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$
Следовательно:
$\frac{\sin 72^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} = 1$
Таким образом, мы показали, что $4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = 1$.
Возвращаясь к выражению для левой части исходного тождества, получаем:
$4 \sin 18^\circ \cos 36^\circ \cos 7^\circ = 1 \cdot \cos 7^\circ = \cos 7^\circ$
Мы преобразовали левую часть тождества и получили правую часть. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 38 расположенного на странице 318 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №38 (с. 318), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.