Номер 49, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 49, страница 319.
№49 (с. 319)
Условие. №49 (с. 319)
скриншот условия

49. Члены арифметической ($a_n$) и геометрической ($b_n$) прогрессий удовлетворяют условиям $a_{40} = b_{40} > 0, a_{60} = b_{60} > 0$. Что больше: $a_{50}$ или $b_{50}$?
Решение 5. №49 (с. 319)
Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, а $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.
Из условия задачи нам известно, что $a_{40} = b_{40} > 0$ и $a_{60} = b_{60} > 0$. Давайте введем обозначения для этих значений: пусть $x = a_{40} = b_{40}$ и $y = a_{60} = b_{60}$. По условию, $x > 0$ и $y > 0$.
Наша задача — сравнить $a_{50}$ и $b_{50}$.
Сначала найдем выражение для $a_{50}$. Индекс 50 находится ровно посередине между индексами 40 и 60. По свойству арифметической прогрессии, любой ее член является средним арифметическим членов, равноотстоящих от него. Следовательно, $a_{50}$ является средним арифметическим $a_{40}$ и $a_{60}$:
$a_{50} = \frac{a_{40} + a_{60}}{2} = \frac{x + y}{2}$
Теперь найдем выражение для $b_{50}$. По аналогии, для геометрической прогрессии, член, стоящий между двумя другими, является их средним геометрическим, при условии что члены положительны. Так как $b_{40} = x > 0$ и $b_{60} = y > 0$, то и знаменатель прогрессии $q$ должен быть положительным (иначе знаки $b_{40}$ и $b_{60}$ были бы разными), а значит и $b_{50}$ будет положительным. Таким образом:
$b_{50} = \sqrt{b_{40} \cdot b_{60}} = \sqrt{x \cdot y}$
Теперь нам нужно сравнить $a_{50} = \frac{x+y}{2}$ и $b_{50} = \sqrt{xy}$. Для этого рассмотрим их разность:
$a_{50} - b_{50} = \frac{x+y}{2} - \sqrt{xy}$
Приведем к общему знаменателю и преобразуем числитель:
$a_{50} - b_{50} = \frac{x + y - 2\sqrt{xy}}{2} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2}{2} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{2}$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0$. Так как знаменатель 2 положителен, то и вся дробь неотрицательна:
$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{2} \ge 0$
Следовательно, $a_{50} - b_{50} \ge 0$, что эквивалентно $a_{50} \ge b_{50}$.
Равенство $a_{50} = b_{50}$ достигается только в том случае, когда $a_{50} - b_{50} = 0$, то есть когда $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 0$. Это возможно, только если $\sqrt{x} = \sqrt{y}$, или $x = y$. Если $x=y$, то $a_{40} = a_{60}$ и $b_{40} = b_{60}$, что означает, что арифметическая прогрессия имеет разность $d=0$, а геометрическая — знаменатель $q=1$. В этом случае обе прогрессии являются постоянными, и все их члены равны, включая $a_{50}$ и $b_{50}$.
Если же прогрессии не постоянны, то $x \neq y$, и тогда неравенство становится строгим: $a_{50} > b_{50}$.
Таким образом, член арифметической прогрессии $a_{50}$ всегда больше или равен соответствующему члену геометрической прогрессии $b_{50}$.
Ответ: $a_{50} \ge b_{50}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 49 расположенного на странице 319 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49 (с. 319), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.