Номер 49, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 49, страница 319.

Условие.

49. Члены арифметической ($a_n$) и геометрической ($b_n$) прогрессий удовлетворяют условиям $a_{40} = b_{40} > 0, a_{60} = b_{60} > 0$. Что больше: $a_{50}$ или $b_{50}$?

Решение 5.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, а $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$.

Из условия задачи нам известно, что $a_{40} = b_{40} > 0$ и $a_{60} = b_{60} > 0$. Давайте введем обозначения для этих значений: пусть $x = a_{40} = b_{40}$ и $y = a_{60} = b_{60}$. По условию, $x > 0$ и $y > 0$.

Наша задача — сравнить $a_{50}$ и $b_{50}$.

Сначала найдем выражение для $a_{50}$. Индекс 50 находится ровно посередине между индексами 40 и 60. По свойству арифметической прогрессии, любой ее член является средним арифметическим членов, равноотстоящих от него. Следовательно, $a_{50}$ является средним арифметическим $a_{40}$ и $a_{60}$:

$a_{50} = \frac{a_{40} + a_{60}}{2} = \frac{x + y}{2}$

Теперь найдем выражение для $b_{50}$. По аналогии, для геометрической прогрессии, член, стоящий между двумя другими, является их средним геометрическим, при условии что члены положительны. Так как $b_{40} = x > 0$ и $b_{60} = y > 0$, то и знаменатель прогрессии $q$ должен быть положительным (иначе знаки $b_{40}$ и $b_{60}$ были бы разными), а значит и $b_{50}$ будет положительным. Таким образом:

$b_{50} = \sqrt{b_{40} \cdot b_{60}} = \sqrt{x \cdot y}$

Теперь нам нужно сравнить $a_{50} = \frac{x+y}{2}$ и $b_{50} = \sqrt{xy}$. Для этого рассмотрим их разность:

$a_{50} - b_{50} = \frac{x+y}{2} - \sqrt{xy}$

Приведем к общему знаменателю и преобразуем числитель:

$a_{50} - b_{50} = \frac{x + y - 2\sqrt{xy}}{2} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2}{2} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{2}$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0$. Так как знаменатель 2 положителен, то и вся дробь неотрицательна:

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{2} \ge 0$

Следовательно, $a_{50} - b_{50} \ge 0$, что эквивалентно $a_{50} \ge b_{50}$.

Равенство $a_{50} = b_{50}$ достигается только в том случае, когда $a_{50} - b_{50} = 0$, то есть когда $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 0$. Это возможно, только если $\sqrt{x} = \sqrt{y}$, или $x = y$. Если $x=y$, то $a_{40} = a_{60}$ и $b_{40} = b_{60}$, что означает, что арифметическая прогрессия имеет разность $d=0$, а геометрическая — знаменатель $q=1$. В этом случае обе прогрессии являются постоянными, и все их члены равны, включая $a_{50}$ и $b_{50}$.

Если же прогрессии не постоянны, то $x \neq y$, и тогда неравенство становится строгим: $a_{50} > b_{50}$.

Таким образом, член арифметической прогрессии $a_{50}$ всегда больше или равен соответствующему члену геометрической прогрессии $b_{50}$.

Ответ: $a_{50} \ge b_{50}$.