Номер 56, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 56, страница 320.

Условие.

56. a) Докажите, что для любой функции $f$ с симметричной относительно точки $0$ областью определения функция $y = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ четная, а функция $y = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ нечетная.

б) Докажите, что любая функция с симметричной относительно точки $0$ областью определения представляется (притом единственным образом) в виде суммы четной и нечетной функций.

в) Найдите все функции, являющиеся одновременно четными и нечетными.

Решение 5.

а)

Для того чтобы доказать четность или нечетность функции, необходимо, чтобы ее область определения была симметрична относительно точки 0. Это условие дано в задаче.

1. Докажем, что функция $y_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной.
Функция является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y_1(-x) = y_1(x)$.
Найдем $y_1(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в формулу функции:
$y_1(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2}$.
Сравнивая полученное выражение с исходным, видим, что $y_1(-x) = y_1(x)$. Следовательно, функция $y_1(x)$ является четной.

2. Докажем, что функция $y_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ является нечетной.
Функция является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y_2(-x) = -y_2(x)$.
Найдем $y_2(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в формулу функции:
$y_2(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2}$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$\frac{f(-x) - f(x)}{2} = - \frac{-(f(-x) - f(x))}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.
Мы получили, что $y_2(-x) = -y_2(x)$. Следовательно, функция $y_2(x)$ является нечетной.

Ответ: Утверждения доказаны.

б)

Нужно доказать, что любую функцию $f(x)$ с симметричной относительно 0 областью определения можно представить в виде суммы четной $g(x)$ и нечетной $h(x)$ функций, причем такое представление единственно.

Доказательство существования:
Рассмотрим сумму двух функций из пункта а):
$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ (четная функция)
$h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ (нечетная функция)
Найдем их сумму:
$g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$.
Таким образом, мы представили функцию $f(x)$ как сумму четной функции $g(x)$ и нечетной функции $h(x)$. Существование такого представления доказано.

Доказательство единственности:
Предположим, что существует другое представление функции $f(x)$ в виде суммы четной функции $g_1(x)$ и нечетной функции $h_1(x)$:
$f(x) = g_1(x) + h_1(x)$.
Тогда мы имеем равенство двух представлений:
$g(x) + h(x) = g_1(x) + h_1(x)$.
Перегруппируем слагаемые:
$g(x) - g_1(x) = h_1(x) - h(x)$.
В левой части стоит разность двух четных функций, которая также является четной функцией. Обозначим ее $\phi_{четн}(x) = g(x) - g_1(x)$.
В правой части стоит разность двух нечетных функций, которая также является нечетной функцией. Обозначим ее $\phi_{нечетн}(x) = h_1(x) - h(x)$.
Получаем, что $\phi_{четн}(x) = \phi_{нечетн}(x)$. Это означает, что существует функция, которая является одновременно и четной, и нечетной.
Пусть эта функция $\phi(x)$. Тогда для нее должны выполняться два условия:
1) $\phi(-x) = \phi(x)$ (так как она четная)
2) $\phi(-x) = -\phi(x)$ (так как она нечетная)
Отсюда следует, что $\phi(x) = -\phi(x)$, что равносильно $2\phi(x) = 0$, то есть $\phi(x) = 0$ для всех $x$ из области определения.
Значит, $g(x) - g_1(x) = 0 \implies g(x) = g_1(x)$.
И $h_1(x) - h(x) = 0 \implies h_1(x) = h(x)$.
Это означает, что оба представления идентичны. Единственность доказана.

Ответ: Утверждение доказано.

в)

Пусть функция $f(x)$ является одновременно и четной, и нечетной. Это означает, что для любого $x$ из ее (симметричной относительно 0) области определения должны одновременно выполняться два равенства:
1. $f(-x) = f(x)$ (свойство четной функции)
2. $f(-x) = -f(x)$ (свойство нечетной функции)
Приравнивая правые части этих равенств, получаем:
$f(x) = -f(x)$
Перенесем слагаемое в левую часть:
$f(x) + f(x) = 0$
$2f(x) = 0$
Отсюда следует, что $f(x) = 0$ для всех $x$ из области определения.

Ответ: Единственная функция, которая является одновременно четной и нечетной, — это тождественный ноль, т.е. функция $y = f(x) = 0$.