Номер 61, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 61, страница 321.

Условие.

61. Найдите наименьший положительный период функции:

а) $y = \cos^3 x;$

б) $y = \sqrt{|\sin 2x|};$

в) $y = \cos (x \sqrt{2}) + \cos \frac{x}{\sqrt{2}};$

г) $y = \{ -1 - 2x \}.$

Решение 5.

а) $y = \cos^3 x$

Наименьший положительный период функции $f(x) = \cos x$ равен $2\pi$. Для функции вида $y(x) = (\cos x)^n$, где $n$ — целое число, наименьший положительный период зависит от четности $n$.

• Если $n$ — четное, период равен $\pi$.
• Если $n$ — нечетное, период равен $2\pi$.

В данном случае $n=3$, что является нечетным числом. Следовательно, наименьший положительный период функции $y = \cos^3 x$ совпадает с периодом функции $\cos x$ и равен $2\pi$.

Проверим это. Мы ищем наименьшее $T > 0$ такое, что $\cos^3(x+T) = \cos^3 x$ для всех $x$. Если положить $x=0$, то получим $\cos^3(T) = \cos^3(0) = 1^3 = 1$. Отсюда следует, что $\cos T = 1$. Наименьшее положительное значение $T$, удовлетворяющее этому равенству, есть $T = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$

б) $y = \sqrt{|\sin 2x|}$

Для нахождения периода этой сложной функции рассмотрим её по частям, изнутри наружу.

1. Функция $f_1(x) = \sin(2x)$. Период функции $\sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$, поэтому период $f_1(x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Функция $f_2(x) = |\sin(2x)|$. Применение модуля к функции синуса или косинуса уменьшает её период вдвое, так как отрицательные значения становятся положительными. Период функции $|\sin(kx)|$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Таким образом, период $f_2(x)$ равен $T_2 = \frac{\pi}{2}$.
3. Функция $y(x) = \sqrt{|\sin 2x|} = \sqrt{f_2(x)}$. Операция извлечения квадратного корня не изменяет период функции, к которой она применяется, поскольку она является монотонной на области определения (которая в данном случае неотрицательна).

Следовательно, наименьший положительный период функции $y = \sqrt{|\sin 2x|}$ совпадает с периодом функции $|\sin 2x|$ и равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

в) $y = \cos(x\sqrt{2}) + \cos\frac{x}{\sqrt{2}}$

Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \cos(x\sqrt{2})$ и $f_2(x) = \cos\frac{x}{\sqrt{2}}$. Период функции, являющейся суммой двух периодических функций, равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов (при условии, что их периоды соизмеримы, т.е. их отношение является рациональным числом).

1. Найдем период $T_1$ для функции $f_1(x) = \cos(x\sqrt{2})$. Используем формулу $T = \frac{2\pi}{|k|}$ с $k=\sqrt{2}$: $T_1 = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \pi\sqrt{2}$.

2. Найдем период $T_2$ для функции $f_2(x) = \cos(\frac{x}{\sqrt{2}})$. Здесь $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $T_2 = \frac{2\pi}{1/\sqrt{2}} = 2\pi\sqrt{2}$.

3. Проверим соизмеримость периодов: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{2\pi\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$. Отношение является рациональным числом, значит общий период существует.

4. Найдем НОК($T_1, T_2$). Нам нужно найти наименьшее число $T$, которое одновременно является целым кратным $T_1$ и $T_2$. $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$, где $n_1, n_2$ — натуральные числа. $n_1(\pi\sqrt{2}) = n_2(2\pi\sqrt{2}) \Rightarrow n_1 = 2n_2$. Наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2=1$ и $n_1=2$. Тогда $T = 1 \cdot T_2 = 2\pi\sqrt{2}$.

Таким образом, наименьший положительный период исходной функции равен $2\pi\sqrt{2}$.

Ответ: $2\pi\sqrt{2}$

г) $y = \{-1 - 2x\}$

Функция $y=\{z\}$ — это дробная часть числа $z$, определяемая как $\{z\} = z - \lfloor z \rfloor$. Стандартная функция $f(z) = \{z\}$ имеет наименьший положительный период, равный 1.

Для функции вида $y(x) = \{ax+b\}$ наименьший положительный период $T$ можно найти из условия, что приращение аргумента функции $\{ \cdot \}$ должно быть равно целому числу. То есть, мы ищем наименьшее $T > 0$, для которого $y(x+T) = y(x)$.

$\{-1 - 2(x+T)\} = \{-1 - 2x\}$

$\{-1 - 2x - 2T\} = \{-1 - 2x\}$

Пусть $z = -1 - 2x$. Тогда равенство принимает вид $\{z - 2T\} = \{z\}$. Это равенство верно, если $-2T$ является целым числом, т.е. $-2T = k$, где $k$ — ненулевое целое число.

Отсюда $T = -\frac{k}{2}$.

Мы ищем наименьший положительный период $T > 0$. Это означает, что $k$ должно быть отрицательным. Чтобы $T$ было наименьшим, $k$ должно быть наибольшим отрицательным целым числом, то есть $k=-1$.

Подставляя $k=-1$, получаем: $T = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.

В общем случае, наименьший положительный период функции $y = \{ax+b\}$ равен $T = \frac{1}{|a|}$. Для нашей функции $a=-2$, поэтому $T = \frac{1}{|-2|} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$