Номер 65, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 65, страница 321.

Условие.

65. Известно, что функция $y = f(x)$: 1) возрастает; 2) убывает на промежутке $I$. Является ли функция $y = kf(x)$ возрастающей (убывающей) на промежутке $I$, если известно, что:

а) $k > 0$;

б) $k < 0$?

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы воспользуемся определениями возрастающей и убывающей функций.

Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на промежутке $I$, если для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Функция $y = f(x)$ называется убывающей на промежутке $I$, если для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Проанализируем функцию $y = kf(x)$ в каждом из предложенных случаев.

1) Функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $I$
Это означает, что для любых $x_1, x_2 \in I$, где $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

а) $k > 0$
Умножим обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ на положительное число $k$. Знак неравенства при этом не изменится:
$k \cdot f(x_1) < k \cdot f(x_2)$
Так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $kf(x_1) < kf(x_2)$, то по определению функция $y = kf(x)$ является возрастающей на промежутке $I$.
Ответ: функция $y = kf(x)$ является возрастающей.

б) $k < 0$
Умножим обе части неравенства $f(x_1) < f(x_2)$ на отрицательное число $k$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный:
$k \cdot f(x_1) > k \cdot f(x_2)$
Так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $kf(x_1) > kf(x_2)$, то по определению функция $y = kf(x)$ является убывающей на промежутке $I$.
Ответ: функция $y = kf(x)$ является убывающей.

2) Функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $I$
Это означает, что для любых $x_1, x_2 \in I$, где $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

а) $k > 0$
Умножим обе части неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ на положительное число $k$. Знак неравенства при этом не изменится:
$k \cdot f(x_1) > k \cdot f(x_2)$
Так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $kf(x_1) > kf(x_2)$, то по определению функция $y = kf(x)$ является убывающей на промежутке $I$.
Ответ: функция $y = kf(x)$ является убывающей.

б) $k < 0$
Умножим обе части неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ на отрицательное число $k$. Знак неравенства при этом изменится на противоположный:
$k \cdot f(x_1) < k \cdot f(x_2)$
Так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $kf(x_1) < kf(x_2)$, то по определению функция $y = kf(x)$ является возрастающей на промежутке $I$.
Ответ: функция $y = kf(x)$ является возрастающей.