Номер 64, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 64, страница 321.

Условие.

64. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $\sin 4^\circ$, $\cos 2$, $\operatorname{tg} 3$, $\operatorname{ctg} 6$;

б) $\sin 10^\circ$, $\cos 275^\circ$, $\operatorname{tg} 190^\circ$, $\operatorname{ctg} 100^\circ$.

Решение 5.

а) Чтобы расположить числа $\sin 4^\circ, \cos 2, \tan 3, \cot 6$ в порядке возрастания, определим их знаки и примерные значения. В тригонометрических функциях без значка градуса угол по умолчанию измеряется в радианах. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

Сначала определим знаки каждого числа, найдя соответствующую тригонометрическую четверть для каждого угла:

$\sin 4^\circ$: Угол $4^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 4^\circ < 90^\circ$), поэтому $\sin 4^\circ > 0$.

$\cos 2$: Для угла в радианах используем $\pi \approx 3.14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол 2 радиана находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 2 < 0$.

$\tan 3$: Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, угол 3 радиана также находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $\tan 3 < 0$.

$\cot 6$: Используем $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$. Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, угол 6 радиан находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, $\cot 6 < 0$.

Мы выяснили, что $\sin 4^\circ$ — единственное положительное число, а значит, оно будет наибольшим в данном наборе. Теперь сравним три отрицательных числа: $\cos 2, \tan 3, \cot 6$.

Угол 3 радиана близок к $\pi$. $\tan 3 = \tan(3-\pi)$. Так как $3-\pi \approx -0.14159$, это малый по модулю отрицательный угол, поэтому $\tan 3$ — это отрицательное число, близкое к нулю. Например, $\tan 3 \approx -0.142$.

Угол 2 радиана находится дальше от границ второй четверти. $\cos 2 = -\cos(\pi-2)$. Поскольку $\pi-2 \approx 1.14159$ рад (около $65^\circ$), $\cos 2$ является отрицательным числом, заметно меньшим нуля, $\cos 2 \approx -0.416$. Так как $-0.416 < -0.142$, то $\cos 2 < \tan 3$.

Угол 6 радиан близок к $2\pi$. $\cot 6 = \cot(6-2\pi)$. Так как $6 - 2\pi \approx -0.283$, $\cot 6$ является отрицательным числом, большим по модулю. Для малого отрицательного аргумента $x$, $\cot x \approx \frac{1}{x}$. $\cot 6 \approx \cot(-0.283) \approx \frac{1}{-0.283} \approx -3.53$. Это значение значительно меньше, чем $\cos 2$ и $\tan 3$.

Таким образом, упорядочивая отрицательные числа от меньшего к большему, получаем: $\cot 6 < \cos 2 < \tan 3$.

Итоговый порядок всех чисел в порядке возрастания: $\cot 6, \cos 2, \tan 3, \sin 4^\circ$.

Ответ: $\cot 6, \cos 2, \tan 3, \sin 4^\circ$.

б) Расположим в порядке возрастания числа $\sin 10^\circ, \cos 275^\circ, \tan 190^\circ, \cot 100^\circ$. Все углы даны в градусах, что упрощает задачу. Определим знак каждого значения.

1. $\sin 10^\circ$: Угол $10^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$). Синус в первой четверти положителен. $\sin 10^\circ > 0$.

2. $\cos 275^\circ$: Угол $275^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 275^\circ < 360^\circ$). Косинус в четвертой четверти положителен. $\cos 275^\circ > 0$. Используя формулы приведения, получаем: $\cos 275^\circ = \cos(270^\circ + 5^\circ) = \sin 5^\circ$.

3. $\tan 190^\circ$: Угол $190^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$). Тангенс в третьей четверти положителен. $\tan 190^\circ > 0$. Используя формулы приведения: $\tan 190^\circ = \tan(180^\circ + 10^\circ) = \tan 10^\circ$.

4. $\cot 100^\circ$: Угол $100^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$). Котангенс во второй четверти отрицателен. $\cot 100^\circ < 0$.

Поскольку $\cot 100^\circ$ — единственное отрицательное число в наборе, оно является наименьшим.

Теперь необходимо сравнить три положительных числа: $\sin 10^\circ$, $\cos 275^\circ$ (что равно $\sin 5^\circ$) и $\tan 190^\circ$ (что равно $\tan 10^\circ$).

Сравниваем $\sin 5^\circ$, $\sin 10^\circ$ и $\tan 10^\circ$. Все углы ($5^\circ$ и $10^\circ$) находятся в первой четверти.

- Функция $y = \sin x$ возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Так как $5^\circ < 10^\circ$, то $\sin 5^\circ < \sin 10^\circ$.

- Для любого острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) справедливо неравенство $\tan \alpha > \sin \alpha$, так как $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и в первой четверти $\cos \alpha < 1$. Следовательно, $\tan 10^\circ > \sin 10^\circ$.

Объединяя эти неравенства, получаем: $\sin 5^\circ < \sin 10^\circ < \tan 10^\circ$.

Подставляя обратно исходные выражения, имеем: $\cos 275^\circ < \sin 10^\circ < \tan 190^\circ$.

Таким образом, итоговый порядок чисел в порядке возрастания: $\cot 100^\circ, \cos 275^\circ, \sin 10^\circ, \tan 190^\circ$.

Ответ: $\cot 100^\circ, \cos 275^\circ, \sin 10^\circ, \tan 190^\circ$.