Номер 62, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 62, страница 321.

Условие.

62. Докажите, что функция не является периодической:

а) $y = \sqrt{x}$;

б) $y = \sin | x |$;

в) $y = x^2 + x + 1$;

г) $y = \sin x + \sin (x \sqrt{2})$.

Решение 5.

а) Функция $y = \sqrt{x}$.
По определению, функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции, числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения и выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$.
Область определения (ОДЗ) для функции $y = \sqrt{x}$ есть множество всех неотрицательных чисел, то есть $D(y) = [0, +\infty)$.
Предположим, что функция является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Возьмем точку $x=0$ из области определения. Согласно определению периодической функции, точка $x-T = 0-T = -T$ также должна принадлежать области определения. Однако, поскольку $T>0$, то $-T<0$, и, следовательно, $-T$ не входит в область определения $[0, +\infty)$.
Таким образом, условие периодичности для области определения не выполняется. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Функция не является периодической, так как ее область определения $[0, +\infty)$ не является симметричной относительно сдвига на любое число $T>0$.

б) Функция $y = \sin|x|$.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Предположим от противного, что функция является периодической с периодом $T > 0$. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $\sin|x+T| = \sin|x|$.
Подставим $x=0$: $\sin|0+T| = \sin|0|$ $\sin|T| = 0$
Поскольку $T>0$, то $|T|=T$, следовательно $\sin(T) = 0$. Отсюда возможные значения для периода: $T = k\pi$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$).
Проверим, является ли какое-либо из этих значений $T$ периодом функции. Рассмотрим $T = 2\pi$ (случай, когда $k=2$). Если это период, то равенство $\sin|x+2\pi| = \sin|x|$ должно выполняться для всех $x$. Возьмем $x = -\frac{3\pi}{2}$. Найдем значение функции в этой точке: $y(-\frac{3\pi}{2}) = \sin|-\frac{3\pi}{2}| = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Теперь найдем значение функции в точке $x+T$: $y(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi) = y(\frac{\pi}{2}) = \sin|\frac{\pi}{2}| = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Получили, что $y(-\frac{3\pi}{2}) \ne y(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi)$, так как $-1 \ne 1$.
Мы пришли к противоречию с предположением о периодичности функции. Следовательно, функция не является периодической. Аналогичное противоречие можно получить для любого $T=k\pi$.
Ответ: Функция не является периодической.

в) Функция $y = x^2 + x + 1$.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Предположим, что функция является периодической с периодом $T > 0$. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.
$(x+T)^2 + (x+T) + 1 = x^2 + x + 1$
Раскроем скобки и упростим выражение: $x^2 + 2xT + T^2 + x + T + 1 = x^2 + x + 1$ $2xT + T^2 + T = 0$
Это равенство должно выполняться для любого значения $x$. Однако, это линейное уравнение относительно $x$. Оно может быть тождеством (верным для всех $x$) только в том случае, если все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент при $x$ равен $2T$. Приравняем его к нулю: $2T = 0 \implies T=0$.
Это противоречит нашему предположению, что $T$ — это период, так как по определению период должен быть отличен от нуля ($T \ne 0$).
Следовательно, наше предположение о периодичности функции неверно.
Другой способ доказательства: график функции — парабола с ветвями вверх, которая имеет единственную точку минимума. Любая не-постоянная периодическая функция имеет бесконечное число локальных экстремумов. Так как у данной функции только один экстремум, она не может быть периодической.
Ответ: Функция не является периодической.

г) Функция $y = \sin x + \sin(x\sqrt{2})$.
Данная функция представляет собой сумму двух периодических функций: $f_1(x) = \sin x$ и $f_2(x) = \sin(x\sqrt{2})$.
Основной период функции $f_1(x) = \sin x$ равен $T_1 = 2\pi$. Основной период функции $f_2(x) = \sin(x\sqrt{2})$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \pi\sqrt{2}$.
Сумма двух периодических функций является периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение их периодов является рациональным числом. То есть, если существуют такие целые числа $n$ и $m$ (не равные нулю), что $n T_1 = m T_2$.
Найдем отношение периодов наших функций: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{\pi\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Это означает, что не существует таких целых чисел $n$ и $m$, для которых выполнялось бы равенство $\frac{n}{m} = \sqrt{2}$. Следовательно, не существует общего периода для функций $\sin x$ и $\sin(x\sqrt{2})$.
Таким образом, их сумма не является периодической функцией.
Ответ: Функция не является периодической.