Номер 69, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 69, страница 321.

Условие.

69. Найдите функции $f_2 (x) = f (f (x))$, $f_3 (x) = f (f (f (x)))$ и т. д., $f_n (x) = f (f (\dots (f (x))\dots))$ и область определения $f_n (x)$, если:

а) $f (x) = 3 - x$;

б) $f (x) = \frac{1}{x}$;

в) $f (x) = \frac{1}{1 - x}$.

Решение 3.

Решение 5.

а) $f(x) = 3-x$

Найдем первые несколько итераций функции:

$f_1(x) = f(x) = 3-x$

$f_2(x) = f(f(x)) = f(3-x) = 3-(3-x) = x$

$f_3(x) = f(f_2(x)) = f(x) = 3-x$

$f_4(x) = f(f_3(x)) = f(3-x) = f_2(x) = x$

Замечаем, что результат зависит от четности $n$. Если $n$ четное, то $f_n(x)=x$. Если $n$ нечетное, то $f_n(x)=3-x$.

Общая формула для $f_n(x)$:

$f_n(x) = \begin{cases} x, & \text{если } n \text{ четное} \\ 3-x, & \text{если } n \text{ нечетное} \end{cases}$

Область определения функции $f(x)=3-x$ — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$. Поскольку при любой итерации мы применяем функцию к действительному числу, и результат всегда является действительным числом, область определения для любой функции $f_n(x)$ также будет вся числовая прямая.

Ответ: $f_n(x) = \begin{cases} x, & \text{если } n \text{ четное} \\ 3-x, & \text{если } n \text{ нечетное} \end{cases}$; область определения $D(f_n) = \mathbb{R}$ для всех $n \ge 1$.

б) $f(x) = \frac{1}{x}$

Найдем первые несколько итераций функции:

$f_1(x) = f(x) = \frac{1}{x}$

$f_2(x) = f(f(x)) = f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{1/x} = x$

$f_3(x) = f(f_2(x)) = f(x) = \frac{1}{x}$

$f_4(x) = f(f_3(x)) = f(\frac{1}{x}) = f_2(x) = x$

Аналогично предыдущему пункту, результат зависит от четности $n$. Если $n$ четное, то $f_n(x)=x$. Если $n$ нечетное, то $f_n(x)=\frac{1}{x}$.

Общая формула для $f_n(x)$:

$f_n(x) = \begin{cases} x, & \text{если } n \text{ четное} \\ \frac{1}{x}, & \text{если } n \text{ нечетное} \end{cases}$

Область определения функции $f(x)=\frac{1}{x}$ есть $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0\}$. Для определения $f_n(x)$ необходимо, чтобы на каждом шаге итерации аргумент функции не был равен нулю.
1. Для $f_1(x)$ требуется $x \neq 0$.
2. Для $f_2(x)=f(f_1(x))$ требуется $f_1(x) \neq 0$. Так как $f_1(x) = \frac{1}{x}$, это условие выполняется для всех $x$ из области определения $f_1$.
3. Для $f_3(x)=f(f_2(x))$ требуется $f_2(x) \neq 0$. Так как $f_2(x) = x$, это возвращает нас к исходному условию $x \neq 0$.
Таким образом, единственным ограничением для любого $n \ge 1$ является $x \neq 0$.

Ответ: $f_n(x) = \begin{cases} x, & \text{если } n \text{ четное} \\ \frac{1}{x}, & \text{если } n \text{ нечетное} \end{cases}$; область определения $D(f_n) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0\}$ для всех $n \ge 1$.

в) $f(x) = \frac{1}{1-x}$

Найдем первые несколько итераций функции:

$f_1(x) = f(x) = \frac{1}{1-x}$

$f_2(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}$

$f_3(x) = f(f_2(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1 - \frac{x-1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-(x-1)}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$

$f_4(x) = f(f_3(x)) = f(x) = \frac{1}{1-x} = f_1(x)$

Последовательность функций $f_n(x)$ периодична с периодом 3. Общая формула, где $k \in \mathbb{N}$:

$f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{1-x}, & \text{если } n=3k-2 \\ \frac{x-1}{x}, & \text{если } n=3k-1 \\ x, & \text{если } n=3k \end{cases}$

Найдем область определения $D(f_n)$. На каждом шаге применения функции $f(y) = \frac{1}{1-y}$ ее аргумент $y$ не должен быть равен 1.

1. Для $f_1(x)$ требуется $x \neq 1$. Таким образом, $D(f_1) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1\}$.

2. Для $f_2(x)$ требуется $x \neq 1$ и $f_1(x) \neq 1$. Условие $f_1(x) \neq 1 \implies \frac{1}{1-x} \neq 1 \implies 1 \neq 1-x \implies x \neq 0$. Таким образом, $D(f_2) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0, x \neq 1\}$.

3. Для $f_3(x)$ требуется $x \in D(f_2)$ и $f_2(x) \neq 1$. Условие $f_2(x) \neq 1 \implies \frac{x-1}{x} \neq 1 \implies x-1 \neq x \implies -1 \neq 0$, что верно всегда. Новых ограничений нет, $D(f_3) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0, x \neq 1\}$.

4. Для $f_4(x)$ и последующих итераций новые ограничения также не появляются, так как цикл замыкается ($f_3(x) \neq 1 \implies x \neq 1$ и т.д.).

Следовательно, для $n=1$ область определения — $x \neq 1$, а для любого $n \ge 2$ — $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: $f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{1-x}, & \text{если } n=3k-2, k \in \mathbb{N} \\ \frac{x-1}{x}, & \text{если } n=3k-1, k \in \mathbb{N} \\ x, & \text{если } n=3k, k \in \mathbb{N} \end{cases}$; область определения для $n=1$: $D(f_1)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1\}$; для $n \ge 2$: $D(f_n)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0, x \neq 1\}$.