Номер 72, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 72, страница 322.

Условие.

Найдите функцию, обратную данной. Постройте графики найденных функций (72–73).

72. а) $y = \sqrt{x-1}$;

б) $y = \lg (1 - x)$;

в) $y = \sqrt{\frac{1}{x}}$;

г) $y = \sqrt{\lg x}$.

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходная функция: $y = \sqrt{x - 1}$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ исходной функции.
Область определения: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, то есть $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Таким образом, $D(y) = [1, +\infty)$.
Область значений: арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0, +\infty)$.

2. Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения $y = \sqrt{x - 1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = x - 1$. Это преобразование является равносильным, так как $y \ge 0$.
Отсюда получаем: $x = y^2 + 1$.
Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить уравнение обратной функции в стандартном виде: $y = x^2 + 1$.
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \ge 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \ge 1$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \sqrt{x - 1}$ — это верхняя ветвь параболы $x = y^2 + 1$, которая начинается в точке $(1, 0)$ и проходит через точки $(2, 1)$ и $(5, 2)$.
График обратной функции $y = x^2 + 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, вершина которой находится в точке $(0, 1)$. График проходит через точки $(1, 2)$ и $(2, 5)$.
Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = x^2 + 1$, где $x \ge 0$.

б) Исходная функция: $y = \lg(1 - x)$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$.
Область определения: аргумент логарифма должен быть строго положительным: $1 - x > 0$, откуда $x < 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1)$.
Область значений: область значений функции десятичного логарифма — это все действительные числа. Таким образом, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$ из уравнения $y = \lg(1 - x)$.
По определению десятичного логарифма: $10^y = 1 - x$.
Отсюда $x = 1 - 10^y$.
Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = 1 - 10^x$.
Область определения обратной функции $D(y_{inv}) = E(y) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(y_{inv}) = D(y) = (-\infty, 1)$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \lg(1 - x)$ является отражением графика $y=\lg x$ относительно оси $Oy$ с последующим сдвигом на 1 единицу вправо. Он имеет вертикальную асимптоту $x = 1$ и пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.
График обратной функции $y = 1 - 10^x$ является отражением графика $y=10^x$ относительно оси $Ox$ с последующим сдвигом на 1 единицу вверх. Он имеет горизонтальную асимптоту $y = 1$ и также пересекает оси в точке $(0, 0)$.
Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = 1 - 10^x$.

в) Исходная функция: $y = \sqrt{\frac{1}{x}}$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$.
Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательно, а знаменатель не равен нулю. $\frac{1}{x} \ge 0$ и $x \ne 0$ дает нам $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0, +\infty)$.
Область значений: так как $x > 0$, то $\frac{1}{x} > 0$, и значение корня также будет строго положительным. Таким образом, $E(y) = (0, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$ из $y = \sqrt{\frac{1}{x}}$.
Возведем обе части в квадрат: $y^2 = \frac{1}{x}$. Преобразование равносильно, так как $y > 0$.
Отсюда $x = \frac{1}{y^2}$.
Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = \frac{1}{x^2}$.
Область определения обратной функции $D(y_{inv}) = E(y) = (0, +\infty)$. Область значений $E(y_{inv}) = D(y) = (0, +\infty)$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ расположен в первой координатной четверти. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой, а ось $Ox$ — горизонтальной асимптотой. График проходит через точку $(1, 1)$.
График обратной функции $y = \frac{1}{x^2}$ при $x > 0$ также расположен в первой координатной четверти и имеет те же асимптоты. Он также проходит через точку $(1, 1)$.
Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$, где $x > 0$.

г) Исходная функция: $y = \sqrt{\lg x}$.
1. Найдем область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$.
Область определения: необходимо выполнение двух условий: $x > 0$ (для логарифма) и $\lg x \ge 0$ (для корня). Из $\lg x \ge 0$ следует, что $x \ge 10^0$, то есть $x \ge 1$. Объединяя условия, получаем $D(y) = [1, +\infty)$.
Область значений: арифметический корень неотрицателен, $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию, выразив $x$ через $y$ из $y = \sqrt{\lg x}$.
Возводим в квадрат: $y^2 = \lg x$. Преобразование равносильно, так как $y \ge 0$.
По определению логарифма: $x = 10^{y^2}$.
Заменяем $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = 10^{x^2}$.
Область определения обратной функции $D(y_{inv}) = E(y) = [0, +\infty)$. Область значений $E(y_{inv}) = D(y) = [1, +\infty)$.

3. Построение графиков.
График исходной функции $y = \sqrt{\lg x}$ начинается в точке $(1, 0)$ и медленно возрастает, проходя через точку $(10, 1)$.
График обратной функции $y = 10^{x^2}$ при $x \ge 0$ начинается в точке $(0, 1)$ и очень быстро возрастает, проходя через точку $(1, 10)$.
Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: $y = 10^{x^2}$, где $x \ge 0$.