Номер 53, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 53, страница 320.

Условие.

Найдите область значений каждой из функций (53–54).

53. a) $y = \cos^2 x - \cos x;$

б) $y = \sqrt{1 - \sin x \operatorname{ctg} x};$

в) $y = 3 \cos x - 4 \sin x - 1;$

г) $y = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} + 2}.$

Решение 3.

Решение 5.

a) Рассмотрим функцию $y = \cos^2 x - \cos x$. Это квадратичная функция относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то переменная $t$ принимает значения из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.
После замены функция примет вид $y(t) = t^2 - t$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём абсциссу вершины параболы: $t_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку значение $t_0 = 1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, минимальное значение функции на этом отрезке будет достигаться в вершине параболы:
$y_{min} = y(1/2) = (1/2)^2 - 1/2 = 1/4 - 1/2 = -1/4$.
Максимальное значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:
$y(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
$y(1) = 1^2 - 1 = 0$.
Наибольшее из этих значений равно 2.
Таким образом, область значений функции $y$ есть отрезок от минимального до максимального значения.
Ответ: $E(y) = [-1/4, 2]$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{1 - \sin x \operatorname{ctg} x}$.
Найдём область определения функции (ОДЗ). Во-первых, функция $\operatorname{ctg} x$ определена, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$ для любого целого $k$. Во-вторых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - \sin x \operatorname{ctg} x \ge 0$.
При условии $\sin x \neq 0$ мы можем упростить выражение: $\sin x \operatorname{ctg} x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$.
Тогда функция принимает вид $y = \sqrt{1 - \cos x}$. Условие неотрицательности подкоренного выражения $1 - \cos x \ge 0$ (или $\cos x \le 1$) выполняется для любого $x$.
Таким образом, единственным ограничением ОДЗ является $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что $\cos x$ не может принимать значения $1$ и $-1$ (так как $\cos(\pi k) = (-1)^k$). Следовательно, для всех $x$ из ОДЗ выполняется строгое неравенство $|\cos x| < 1$, то есть $-1 < \cos x < 1$.
Теперь найдём диапазон значений для выражения $1 - \cos x$:
Из $-1 < \cos x < 1$ следует, умножая на -1, $ -1 < -\cos x < 1$.
Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим $0 < 1 - \cos x < 2$.
Поскольку $y = \sqrt{1 - \cos x}$, то область значений для $y$ будет $\sqrt{0} < y < \sqrt{2}$.
Ответ: $E(y) = (0, \sqrt{2})$.

в) Рассмотрим функцию $y = 3 \cos x - 4 \sin x - 1$.
Для нахождения области значений выражения вида $a \cos x + b \sin x$ можно использовать метод введения вспомогательного угла. Область значений такого выражения есть отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.
В нашем случае $a = 3$ и $b = -4$. Вычислим $\sqrt{a^2+b^2}$:
$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Следовательно, область значений выражения $3 \cos x - 4 \sin x$ есть отрезок $[-5, 5]$.
Мы можем записать это в виде двойного неравенства:
$-5 \le 3 \cos x - 4 \sin x \le 5$.
Чтобы найти область значений исходной функции $y$, вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-5 - 1 \le 3 \cos x - 4 \sin x - 1 \le 5 - 1$.
$-6 \le y \le 4$.
Ответ: $E(y) = [-6, 4]$.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} + 2}$.
Найдём область значений выражения в знаменателе.
Пусть $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$. Областью значений тангенса является множество всех действительных чисел, то есть $u \in (-\infty, +\infty)$.
Тогда $u^2 = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}$ принимает все неотрицательные значения, то есть $\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} \in [0, +\infty)$.
Знаменатель $Z = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} + 2$ принимает значения из промежутка $[0+2, +\infty)$, то есть $Z \in [2, +\infty)$.
Исходная функция $y = 1/Z$ является убывающей на всей области определения знаменателя ($Z>0$).
Следовательно, максимальное значение $y$ достигается при минимальном значении $Z$. Минимальное значение $Z$ равно 2.
$y_{max} = \frac{1}{2}$.
Поскольку знаменатель $Z$ может неограниченно возрастать ($Z \to +\infty$), значение функции $y$ будет стремиться к нулю, оставаясь при этом строго положительным ($y \to 0^+$).
Таким образом, область значений функции — это полуинтервал.
Ответ: $E(y) = (0, 1/2]$.