Номер 47, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 47, страница 319.

Условие.

47. Известно, что суммы первых $m$ и $n$ членов арифметической прогрессии равны, т. е. $S_m = S_n$. Найдите $S_{m+n}$.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

Формула для суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии имеет вид:

$S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$

По условию задачи, суммы первых $m$ и $n$ членов равны, то есть $S_m = S_n$. Будем считать, что $m \neq n$, так как в противном случае условие является тривиальным и не позволяет однозначно определить $S_{m+n}$.

Запишем равенство $S_m = S_n$ с использованием формулы суммы:

$\frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$(2a_1 + (m-1)d) \cdot m = (2a_1 + (n-1)d) \cdot n$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2a_1m + m(m-1)d = 2a_1n + n(n-1)d$

Сгруппируем слагаемые: перенесем все члены с $a_1$ в левую часть, а все члены с $d$ — в правую.

$2a_1m - 2a_1n = n(n-1)d - m(m-1)d$

Вынесем общие множители за скобки:

$2a_1(m-n) = [n(n-1) - m(m-1)]d$

Упростим выражение в квадратных скобках в правой части:

$n(n-1) - m(m-1) = n^2 - n - (m^2 - m) = n^2 - n - m^2 + m$

Сгруппируем члены и применим формулу разности квадратов $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$:

$(n^2 - m^2) - (n - m) = (n-m)(n+m) - (n-m) = (n-m)(n+m-1)$

Подставим это преобразованное выражение обратно в наше уравнение:

$2a_1(m-n) = (n-m)(m+n-1)d$

Поскольку мы предположили, что $m \neq n$, то $m-n \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(m-n)$. Заметим, что $(n-m) = -(m-n)$.

$2a_1(m-n) = -(m-n)(m+n-1)d$

После деления на $(m-n)$ получаем:

$2a_1 = -(m+n-1)d$

Перенеся правую часть налево, получим важное соотношение:

$2a_1 + (m+n-1)d = 0$

Теперь нам нужно найти $S_{m+n}$. Запишем формулу для суммы первых $m+n$ членов:

$S_{m+n} = \frac{2a_1 + ((m+n)-1)d}{2} \cdot (m+n)$

Обратим внимание, что выражение в числителе дроби, $2a_1 + (m+n-1)d$, — это в точности то выражение, которое мы вывели ранее и которое равно нулю.

Подставим это значение в формулу для $S_{m+n}$:

$S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n) = 0 \cdot (m+n) = 0$

Таким образом, сумма первых $m+n$ членов данной арифметической прогрессии равна нулю.

Ответ: $0$