Номер 47, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 47, страница 319.
№47 (с. 319)
Условие. №47 (с. 319)
скриншот условия

47. Известно, что суммы первых $m$ и $n$ членов арифметической прогрессии равны, т. е. $S_m = S_n$. Найдите $S_{m+n}$.
Решение 3. №47 (с. 319)

Решение 5. №47 (с. 319)
Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$.
Формула для суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии имеет вид:
$S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$
По условию задачи, суммы первых $m$ и $n$ членов равны, то есть $S_m = S_n$. Будем считать, что $m \neq n$, так как в противном случае условие является тривиальным и не позволяет однозначно определить $S_{m+n}$.
Запишем равенство $S_m = S_n$ с использованием формулы суммы:
$\frac{2a_1 + (m-1)d}{2} \cdot m = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$(2a_1 + (m-1)d) \cdot m = (2a_1 + (n-1)d) \cdot n$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2a_1m + m(m-1)d = 2a_1n + n(n-1)d$
Сгруппируем слагаемые: перенесем все члены с $a_1$ в левую часть, а все члены с $d$ — в правую.
$2a_1m - 2a_1n = n(n-1)d - m(m-1)d$
Вынесем общие множители за скобки:
$2a_1(m-n) = [n(n-1) - m(m-1)]d$
Упростим выражение в квадратных скобках в правой части:
$n(n-1) - m(m-1) = n^2 - n - (m^2 - m) = n^2 - n - m^2 + m$
Сгруппируем члены и применим формулу разности квадратов $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$:
$(n^2 - m^2) - (n - m) = (n-m)(n+m) - (n-m) = (n-m)(n+m-1)$
Подставим это преобразованное выражение обратно в наше уравнение:
$2a_1(m-n) = (n-m)(m+n-1)d$
Поскольку мы предположили, что $m \neq n$, то $m-n \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(m-n)$. Заметим, что $(n-m) = -(m-n)$.
$2a_1(m-n) = -(m-n)(m+n-1)d$
После деления на $(m-n)$ получаем:
$2a_1 = -(m+n-1)d$
Перенеся правую часть налево, получим важное соотношение:
$2a_1 + (m+n-1)d = 0$
Теперь нам нужно найти $S_{m+n}$. Запишем формулу для суммы первых $m+n$ членов:
$S_{m+n} = \frac{2a_1 + ((m+n)-1)d}{2} \cdot (m+n)$
Обратим внимание, что выражение в числителе дроби, $2a_1 + (m+n-1)d$, — это в точности то выражение, которое мы вывели ранее и которое равно нулю.
Подставим это значение в формулу для $S_{m+n}$:
$S_{m+n} = \frac{0}{2} \cdot (m+n) = 0 \cdot (m+n) = 0$
Таким образом, сумма первых $m+n$ членов данной арифметической прогрессии равна нулю.
Ответ: $0$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 47 расположенного на странице 319 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №47 (с. 319), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.