Номер 26, страница 317 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 26, страница 317.

Условие.

26. Могут ли быть членами одной геометрической прогрессии числа:

а) 10, 11, 12;

б) 81, -36, 24?

Решение 5.

а) 10, 11, 12;

Предположим, что числа 10, 11 и 12 могут быть членами одной геометрической прогрессии $b_n$ со знаменателем $q$. Пусть эти числа являются членами прогрессии с номерами $k, m, n$ соответственно, причем они расположены в последовательности в порядке возрастания их значений: $b_k=10, b_m=11, b_n=12$, где $k, m, n$ - натуральные числа и $k < m < n$.

Согласно определению геометрической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего умножением на знаменатель $q$. Это означает, что $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$ и $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

Подставив данные нам значения, получим систему уравнений:
$11 = 10 \cdot q^{m-k}$
$12 = 11 \cdot q^{n-m}$

Из этих уравнений можно выразить степени знаменателя $q$:
$q^{m-k} = \frac{11}{10}$
$q^{n-m} = \frac{12}{11}$

Обозначим $p_1 = m-k$ и $p_2 = n-m$. Так как по нашему предположению $k < m < n$, то $p_1$ и $p_2$ являются натуральными числами ($p_1 \ge 1, p_2 \ge 1$). Теперь мы можем выразить $q$ двумя способами: $q = \left(\frac{11}{10}\right)^{1/p_1}$ и $q = \left(\frac{12}{11}\right)^{1/p_2}$. Приравнивая эти выражения, получаем: $\left(\frac{11}{10}\right)^{1/p_1} = \left(\frac{12}{11}\right)^{1/p_2}$

Чтобы избавиться от дробных степеней, возведем обе части равенства в степень $p_1 p_2$: $\left(\frac{11}{10}\right)^{p_2} = \left(\frac{12}{11}\right)^{p_1}$

Преобразуем это равенство: $11^{p_2} \cdot 11^{p_1} = 12^{p_1} \cdot 10^{p_2}$
$11^{p_1+p_2} = (2^2 \cdot 3)^{p_1} \cdot (2 \cdot 5)^{p_2}$
$11^{p_1+p_2} = 2^{2p_1+p_2} \cdot 3^{p_1} \cdot 5^{p_2}$

Мы получили равенство, в левой части которого стоит число, единственным простым делителем которого является 11, а в правой части — число, простыми делителями которого являются 2, 3 и 5. Согласно основной теореме арифметики о единственности разложения натуральных чисел на простые множители, такое равенство возможно только если обе части равны 1. Это требует, чтобы все показатели степени были равны нулю. Однако $p_1$ и $p_2$ являются натуральными числами, а значит, их сумма $p_1+p_2$ не может быть равна нулю. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Если рассмотреть другие возможные порядки следования чисел 10, 11, 12 в прогрессии, мы придем к аналогичным противоречиям, основанным на уникальности разложения на простые множители.

Ответ: не могут.

б) 81, -36, 24?

Предположим, что числа 81, -36 и 24 могут быть членами одной геометрической прогрессии. Пусть $b_k, b_m, b_n$ — три члена этой прогрессии, равные данным числам в некотором порядке, где $k < m < n$. Обозначим $p_1 = m-k \ge 1$ и $p_2 = n-m \ge 1$.

Основное свойство членов геометрической прогрессии заключается в том, что отношение последующего члена к предыдущему постоянно. Для не обязательно соседних членов это означает, что $(b_m/b_k)^{1/p_1} = (b_n/b_m)^{1/p_2} = q$. Отсюда следует, что должно выполняться равенство: $(\frac{b_m}{b_k})^{p_2} = (\frac{b_n}{b_m})^{p_1}$. Проверим это условие для различных возможных порядков следования данных чисел.

1. Порядок (81, -36, 24).
В этом случае $b_k=81, b_m=-36, b_n=24$. Находим отношения: $\frac{b_m}{b_k} = \frac{-36}{81} = -\frac{4}{9}$ и $\frac{b_n}{b_m} = \frac{24}{-36} = -\frac{2}{3}$. Наше условие принимает вид: $(-\frac{4}{9})^{p_2} = (-\frac{2}{3})^{p_1}$. Так как $q^{p_1} = -4/9$ и $q^{p_2} = -2/3$ (оба отношения отрицательны), то показатели $p_1$ и $p_2$ должны быть нечетными натуральными числами, а знаменатель $q$ - отрицательным. Пусть $q = -r$, где $r > 0$. Тогда $-r^{p_1} = -4/9 \Rightarrow r^{p_1} = 4/9 = (2/3)^2$. Также $-r^{p_2} = -2/3 \Rightarrow r^{p_2} = 2/3$. Из второго уравнения $r = (2/3)^{1/p_2}$. Подставляя в первое, получаем $((2/3)^{1/p_2})^{p_1} = (2/3)^2$, что дает $p_1/p_2 = 2$, или $p_1 = 2p_2$. Это означает, что $p_1$ должно быть четным числом. Но мы ранее установили, что $p_1$ должно быть нечетным. Это противоречие.

2. Порядок (24, -36, 81).
В этом случае $b_k=24, b_m=-36, b_n=81$. Отношения: $\frac{b_m}{b_k} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$ и $\frac{b_n}{b_m} = \frac{81}{-36} = -\frac{9}{4}$. Условие: $(-\frac{3}{2})^{p_2} = (-\frac{9}{4})^{p_1}$. Равенство можно записать как $(-1)^{p_2}(\frac{3}{2})^{p_2} = (-1)^{p_1}((\frac{3}{2})^2)^{p_1} = (-1)^{p_1}(\frac{3}{2})^{2p_1}$. Для равенства знаков необходимо, чтобы $p_1$ и $p_2$ имели одинаковую четность. Приравнивая модули, получаем $(\frac{3}{2})^{p_2} = (\frac{3}{2})^{2p_1}$, откуда $p_2 = 2p_1$. Если $p_1$ нечетное, то $p_2$ четное, что противоречит одинаковой четности. Если $p_1$ четное, то $p_2$ тоже четное, что допустимо. Пусть $p_1 = 2$, тогда $p_2 = 4$. В этом случае $q^{p_1}=q^2 = -3/2$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Это противоречие.

3. Порядок (81, 24, -36).
В этом случае $b_k=81, b_m=24, b_n=-36$. Отношения: $\frac{b_m}{b_k} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ и $\frac{b_n}{b_m} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$. Условие: $(\frac{8}{27})^{p_2} = (-\frac{3}{2})^{p_1}$. Левая часть равенства всегда положительна. Правая часть может быть положительной только если $p_1$ - четное число. Тогда $(\frac{8}{27})^{p_2} = (\frac{3}{2})^{p_1}$. Преобразуем основания к (2/3): $((\frac{2}{3})^3)^{p_2} = ((\frac{2}{3})^{-1})^{p_1}$, то есть $(\frac{2}{3})^{3p_2} = (\frac{2}{3})^{-p_1}$. Отсюда $3p_2 = -p_1$. Это равенство невозможно для натуральных чисел $p_1$ и $p_2$.

Проверка остальных трех возможных порядков следования чисел также приводит к противоречиям. Следовательно, данные числа не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

Ответ: не могут.