Номер 19, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 19, страница 316.
№19 (с. 316)
Условие. №19 (с. 316)
скриншот условия

19. Может ли быть рациональным числом:
а) сумма двух иррациональных чисел;
б) иррациональное число в иррациональной степени?
Решение 5. №19 (с. 316)
а) сумма двух иррациональных чисел;
Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести конкретный пример.
Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$.
Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Число $b = -\sqrt{2}$ также иррационально. Если бы оно было рациональным, то и число $-1 \cdot b = -1 \cdot (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ было бы рациональным как произведение двух рациональных чисел, что неверно.
Теперь найдем сумму этих двух иррациональных чисел:
$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.
Результат, число 0, является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.
Таким образом, мы показали на примере, что сумма двух иррациональных чисел может быть рациональной.
Ответ: Да, может.
б) иррациональное число в иррациональной степени?
Да, иррациональное число, возведенное в иррациональную степень, может быть рациональным числом. Это можно доказать с помощью рассуждения от противного, не зная заранее, является ли конкретное число, такое как $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, рациональным или иррациональным.
Рассмотрим число $A = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Мы знаем, что основание $\sqrt{2}$ является иррациональным. Для самого числа $A$ есть только две возможности: оно либо рациональное, либо иррациональное.
Случай 1: Число $A = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ является рациональным.
В этом случае мы уже нашли искомый пример. Основание степени $a = \sqrt{2}$ — иррациональное, показатель степени $b = \sqrt{2}$ — иррациональный, а результат $a^b = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ является рациональным числом по предположению этого случая.
Случай 2: Число $A = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ является иррациональным.
В этом случае возьмем это иррациональное число $A$ в качестве нового основания и возведем его в иррациональную степень $\sqrt{2}$. Получим:
$A^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$
Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2$.
Результат равен 2, что является рациональным числом. Таким образом, и в этом случае мы нашли пример: иррациональное основание $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ и иррациональный показатель $b = \sqrt{2}$ дают в результате рациональное число.
Поскольку один из двух случаев обязательно истинен, мы доказали, что существует пара иррациональных чисел $a$ и $b$ таких, что $a^b$ является рациональным числом.
Ответ: Да, может.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 19 расположенного на странице 316 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №19 (с. 316), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.