Номер 19, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 19, страница 316.

Условие.

19. Может ли быть рациональным числом:

а) сумма двух иррациональных чисел;

б) иррациональное число в иррациональной степени?

Решение 5.

а) сумма двух иррациональных чисел;

Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести конкретный пример.

Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Число $b = -\sqrt{2}$ также иррационально. Если бы оно было рациональным, то и число $-1 \cdot b = -1 \cdot (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ было бы рациональным как произведение двух рациональных чисел, что неверно.

Теперь найдем сумму этих двух иррациональных чисел:
$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.

Результат, число 0, является рациональным числом, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.

Таким образом, мы показали на примере, что сумма двух иррациональных чисел может быть рациональной.

Ответ: Да, может.

б) иррациональное число в иррациональной степени?

Да, иррациональное число, возведенное в иррациональную степень, может быть рациональным числом. Это можно доказать с помощью рассуждения от противного, не зная заранее, является ли конкретное число, такое как $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, рациональным или иррациональным.

Рассмотрим число $A = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Мы знаем, что основание $\sqrt{2}$ является иррациональным. Для самого числа $A$ есть только две возможности: оно либо рациональное, либо иррациональное.

Случай 1: Число $A = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ является рациональным.
В этом случае мы уже нашли искомый пример. Основание степени $a = \sqrt{2}$ — иррациональное, показатель степени $b = \sqrt{2}$ — иррациональный, а результат $a^b = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ является рациональным числом по предположению этого случая.

Случай 2: Число $A = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ является иррациональным.
В этом случае возьмем это иррациональное число $A$ в качестве нового основания и возведем его в иррациональную степень $\sqrt{2}$. Получим:
$A^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$

Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем:
$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2$.

Результат равен 2, что является рациональным числом. Таким образом, и в этом случае мы нашли пример: иррациональное основание $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ и иррациональный показатель $b = \sqrt{2}$ дают в результате рациональное число.

Поскольку один из двух случаев обязательно истинен, мы доказали, что существует пара иррациональных чисел $a$ и $b$ таких, что $a^b$ является рациональным числом.

Ответ: Да, может.