Номер 13, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 13, страница 315.

Условие.

13. a) $\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(n+3)(n+4)} = \frac{n}{4(n+4)};$

б) $2^2 + 6^2 + \dots + (4n - 2)^2 = \frac{4n(2n-1)(2n+1)}{3};$

в) $\frac{7}{1 \cdot 8} + \frac{7}{8 \cdot 15} + \frac{7}{15 \cdot 22} + \dots + \frac{7}{(7n-6)(7n+1)} = 1 - \frac{1}{7n+1};$

г) $\frac{1}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 12} + \frac{1}{12 \cdot 16} + \dots + \frac{1}{4n(4n+4)} = \frac{1}{16} - \frac{1}{16(n+1)}.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажем тождество методом математической индукции.
База индукции (при $n=1$):
Левая часть: $\frac{1}{(1+3)(1+4)} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$.
Правая часть: $\frac{1}{4(1+4)} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}$.
Равенство выполняется.
Индукционный переход:
Предположим, что равенство верно для $n=m$:
$\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + ... + \frac{1}{(m+3)(m+4)} = \frac{m}{4(m+4)}$.
Докажем, что оно верно для $n=m+1$:
$\left( \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{(m+3)(m+4)} \right) + \frac{1}{((m+1)+3)((m+1)+4)} = \frac{m}{4(m+4)} + \frac{1}{(m+4)(m+5)}$
$= \frac{m(m+5) + 4}{4(m+4)(m+5)} = \frac{m^2+5m+4}{4(m+4)(m+5)} = \frac{(m+1)(m+4)}{4(m+4)(m+5)} = \frac{m+1}{4(m+5)}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества при $n=m+1$: $\frac{m+1}{4((m+1)+4)} = \frac{m+1}{4(m+5)}$.
По принципу математической индукции, тождество верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество методом математической индукции.
База индукции (при $n=1$):
Левая часть: $2^2 = 4$.
Правая часть: $\frac{4 \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 4$.
Равенство выполняется.
Индукционный переход:
Предположим, что равенство верно для $n=m$:
$2^2 + 6^2 + ... + (4m-2)^2 = \frac{4m(2m-1)(2m+1)}{3}$.
Докажем, что оно верно для $n=m+1$:
$(2^2 + 6^2 + ... + (4m-2)^2) + (4(m+1)-2)^2 = \frac{4m(2m-1)(2m+1)}{3} + (4m+2)^2$
$= \frac{4m(2m-1)(2m+1)}{3} + 4(2m+1)^2 = 4(2m+1) \left( \frac{m(2m-1)}{3} + (2m+1) \right)$
$= 4(2m+1) \frac{2m^2-m+6m+3}{3} = \frac{4(2m+1)(2m^2+5m+3)}{3} = \frac{4(2m+1)(m+1)(2m+3)}{3}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества при $n=m+1$: $\frac{4(m+1)(2(m+1)-1)(2(m+1)+1)}{3} = \frac{4(m+1)(2m+1)(2m+3)}{3}$.
По принципу математической индукции, тождество верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество методом математической индукции.
База индукции (при $n=1$):
Левая часть: $\frac{7}{1 \cdot 8} = \frac{7}{8}$.
Правая часть: $1 - \frac{1}{7 \cdot 1 + 1} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Равенство выполняется.
Индукционный переход:
Предположим, что равенство верно для $n=m$:
$\frac{7}{1 \cdot 8} + \frac{7}{8 \cdot 15} + ... + \frac{7}{(7m-6)(7m+1)} = 1 - \frac{1}{7m+1}$.
Докажем, что оно верно для $n=m+1$:
$\left( \frac{7}{1 \cdot 8} + ... + \frac{7}{(7m-6)(7m+1)} \right) + \frac{7}{(7(m+1)-6)(7(m+1)+1)} = 1 - \frac{1}{7m+1} + \frac{7}{(7m+1)(7m+8)}$
$= 1 - \left( \frac{1}{7m+1} - \frac{7}{(7m+1)(7m+8)} \right) = 1 - \frac{(7m+8)-7}{(7m+1)(7m+8)} = 1 - \frac{7m+1}{(7m+1)(7m+8)} = 1 - \frac{1}{7m+8}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества при $n=m+1$: $1 - \frac{1}{7(m+1)+1} = 1 - \frac{1}{7m+8}$.
По принципу математической индукции, тождество верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество методом математической индукции.
База индукции (при $n=1$):
Левая часть: $\frac{1}{4 \cdot 8} = \frac{1}{32}$.
Правая часть: $\frac{1}{16} - \frac{1}{16(1+1)} = \frac{1}{16} - \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.
Равенство выполняется.
Индукционный переход:
Предположим, что равенство верно для $n=m$:
$\frac{1}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 12} + ... + \frac{1}{4m(4m+4)} = \frac{1}{16} - \frac{1}{16(m+1)}$.
Докажем, что оно верно для $n=m+1$:
$\left( \frac{1}{4 \cdot 8} + ... + \frac{1}{4m(4m+4)} \right) + \frac{1}{4(m+1)(4(m+1)+4)} = \frac{1}{16} - \frac{1}{16(m+1)} + \frac{1}{16(m+1)(m+2)}$
$= \frac{1}{16} - \left( \frac{1}{16(m+1)} - \frac{1}{16(m+1)(m+2)} \right) = \frac{1}{16} - \frac{(m+2)-1}{16(m+1)(m+2)} = \frac{1}{16} - \frac{m+1}{16(m+1)(m+2)} = \frac{1}{16} - \frac{1}{16(m+2)}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества при $n=m+1$: $\frac{1}{16} - \frac{1}{16((m+1)+1)} = \frac{1}{16} - \frac{1}{16(m+2)}$.
По принципу математической индукции, тождество верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Тождество доказано.