Номер 10, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 10, страница 315.
№10 (с. 315)
Условие. №10 (с. 315)
скриншот условия

10. Докажите, что для любого натурального числа $N$ существует ряд последовательных $N$ чисел, каждое из которых составное.
Решение 3. №10 (с. 315)

Решение 5. №10 (с. 315)
Для доказательства утверждения необходимо для любого натурального числа $N$ предъявить пример последовательности из $N$ идущих подряд составных чисел. Составным называется натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя.
Рассмотрим число $(N+1)!$ (факториал числа $N+1$), которое равно произведению всех целых чисел от 1 до $N+1$ включительно:$$(N+1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot N \cdot (N+1)$$По своему определению, $(N+1)!$ делится нацело на любое целое число от 2 до $N+1$.
Теперь построим на основе этого числа следующую последовательность из $N$ последовательных целых чисел:$$(N+1)! + 2, \quad (N+1)! + 3, \quad \ldots, \quad (N+1)! + (N+1)$$Эта последовательность содержит ровно $N$ чисел.
Докажем, что каждое число в этой последовательности является составным. Рассмотрим любой член этой последовательности, который имеет вид $(N+1)! + k$, где $k$ — целое число, такое что $2 \le k \le N+1$.
Поскольку $k$ — это целое число в диапазоне от 2 до $N+1$, оно является одним из множителей в произведении $(N+1)!$. Следовательно, $(N+1)!$ делится на $k$ без остатка.Если $(N+1)!$ делится на $k$, то и сумма $(N+1)! + k$ также делится на $k$.Таким образом, число $(N+1)! + k$ имеет делитель $k$.
Чтобы число было составным, его делитель должен быть больше 1 и меньше самого числа.1. Делитель $k \ge 2$, то есть он больше 1.2. Делитель $k$ меньше самого числа $(N+1)! + k$, так как $(N+1)!$ — положительное число.Следовательно, каждое число вида $(N+1)! + k$ (где $2 \le k \le N+1$) является составным, так как оно имеет делитель $k$, удовлетворяющий условию $1 < k < (N+1)! + k$.
Таким образом, мы построили последовательность из $N$ последовательных чисел и доказали, что каждое из них является составным. Это доказывает исходное утверждение.
Например, для $N=4$ искомая последовательность может быть построена на основе $(4+1)! = 5! = 120$:
- $120 + 2 = 122$ (делится на 2)
- $120 + 3 = 123$ (делится на 3)
- $120 + 4 = 124$ (делится на 4)
- $120 + 5 = 125$ (делится на 5)
Последовательность 122, 123, 124, 125 состоит из четырех последовательных составных чисел.
Ответ: Утверждение доказано. Для любого натурального $N$ существует ряд из $N$ последовательных составных чисел. Примером такой последовательности является ряд $(N+1)!+2, (N+1)!+3, \ldots, (N+1)!+(N+1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 315 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 315), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.