Номер 10, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 10, страница 315.

Условие.

10. Докажите, что для любого натурального числа $N$ существует ряд последовательных $N$ чисел, каждое из которых составное.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства утверждения необходимо для любого натурального числа $N$ предъявить пример последовательности из $N$ идущих подряд составных чисел. Составным называется натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя.

Рассмотрим число $(N+1)!$ (факториал числа $N+1$), которое равно произведению всех целых чисел от 1 до $N+1$ включительно:$$(N+1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot N \cdot (N+1)$$По своему определению, $(N+1)!$ делится нацело на любое целое число от 2 до $N+1$.

Теперь построим на основе этого числа следующую последовательность из $N$ последовательных целых чисел:$$(N+1)! + 2, \quad (N+1)! + 3, \quad \ldots, \quad (N+1)! + (N+1)$$Эта последовательность содержит ровно $N$ чисел.

Докажем, что каждое число в этой последовательности является составным. Рассмотрим любой член этой последовательности, который имеет вид $(N+1)! + k$, где $k$ — целое число, такое что $2 \le k \le N+1$.

Поскольку $k$ — это целое число в диапазоне от 2 до $N+1$, оно является одним из множителей в произведении $(N+1)!$. Следовательно, $(N+1)!$ делится на $k$ без остатка.Если $(N+1)!$ делится на $k$, то и сумма $(N+1)! + k$ также делится на $k$.Таким образом, число $(N+1)! + k$ имеет делитель $k$.

Чтобы число было составным, его делитель должен быть больше 1 и меньше самого числа.1. Делитель $k \ge 2$, то есть он больше 1.2. Делитель $k$ меньше самого числа $(N+1)! + k$, так как $(N+1)!$ — положительное число.Следовательно, каждое число вида $(N+1)! + k$ (где $2 \le k \le N+1$) является составным, так как оно имеет делитель $k$, удовлетворяющий условию $1 < k < (N+1)! + k$.

Таким образом, мы построили последовательность из $N$ последовательных чисел и доказали, что каждое из них является составным. Это доказывает исходное утверждение.

Например, для $N=4$ искомая последовательность может быть построена на основе $(4+1)! = 5! = 120$:

• $120 + 2 = 122$ (делится на 2)
• $120 + 3 = 123$ (делится на 3)
• $120 + 4 = 124$ (делится на 4)
• $120 + 5 = 125$ (делится на 5)

Последовательность 122, 123, 124, 125 состоит из четырех последовательных составных чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого натурального $N$ существует ряд из $N$ последовательных составных чисел. Примером такой последовательности является ряд $(N+1)!+2, (N+1)!+3, \ldots, (N+1)!+(N+1)$.