Номер 5, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 5, страница 314.

Условие.

5. a) Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3, на 4?

б) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 23?

в) Длины всех сторон прямоугольного треугольника — целые. Могут ли длины катетов быть нечетными числами?

г) В десятичной записи 12-значного числа N цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные — по одному разу. Может ли N быть точным квадратом?

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы определить, какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3 и на 4, рассмотрим все возможные остатки целого числа $n$ при делении на 3 и 4 и возведем их в квадрат.

При делении на 3:
Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. То есть, $n$ можно представить в виде $n \equiv 0 \pmod{3}$, $n \equiv 1 \pmod{3}$ или $n \equiv 2 \pmod{3}$.
- Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Остаток 0.
- Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Остаток 1.
- Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$. Остаток 1.
Таким образом, точные квадраты при делении на 3 могут давать остатки 0 и 1.

При делении на 4:
Рассмотрим четные и нечетные числа. Любое целое число $n$ можно представить в виде $n \equiv 0, 1, 2$ или $3 \pmod{4}$.
- Если $n$ — четное, то оно может быть $n=2k$. Тогда $n^2 = (2k)^2=4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$. Остаток 0.
- Если $n$ — нечетное, то оно может быть $n=2k+1$. Тогда $n^2 = (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1 \equiv 1 \pmod{4}$. Остаток 1.
Таким образом, точные квадраты при делении на 4 могут давать остатки 0 и 1.

Ответ: При делении на 3 остатки могут быть 0 или 1. При делении на 4 остатки могут быть 0 или 1.

б)

Квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — целые числа. Его дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Поскольку $a, b, c$ — целые числа, то $b^2$ — это квадрат целого числа, а $4ac$ — целое число, кратное 4. Рассмотрим выражение для дискриминанта по модулю 4:

$D \equiv (b^2 - 4ac) \pmod{4}$

Так как $4ac$ делится на 4, то $4ac \equiv 0 \pmod{4}$. Следовательно,

$D \equiv b^2 \pmod{4}$

Из пункта а) мы знаем, что квадрат любого целого числа ($b^2$) при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1.

Рассмотрим число 23. При делении 23 на 4 получаем остаток 3:

$23 = 4 \cdot 5 + 3$, то есть $23 \equiv 3 \pmod{4}$.

Поскольку дискриминант $D$ может быть сравним только с 0 или 1 по модулю 4, а $23 \equiv 3 \pmod{4}$, то дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами не может равняться 23.

Ответ: Нет, не может.

в)

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы прямоугольного треугольника. По условию, $a, b, c$ — целые числа. По теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$.

Предположим, что длины обоих катетов, $a$ и $b$, являются нечетными числами.

Квадрат любого нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. Это можно показать так: если $n = 2k+1$, то $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4(k^2+k)+1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Если $a$ и $b$ — нечетные, то $a^2 \equiv 1 \pmod{4}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Тогда их сумма $a^2 + b^2$ будет сравнима с $1+1$ по модулю 4:

$c^2 = a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$.

Это означает, что квадрат гипотенузы $c^2$ при делении на 4 должен давать остаток 2.

Однако, как было показано в пункте а), квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение неверно. Следовательно, длины катетов не могут быть одновременно нечетными числами.

Ответ: Нет, не могут.

г)

Число $N$ является 12-значным. В его десятичной записи цифра 2 встречается 2 раза, цифра 9 — 2 раза, а остальные цифры из набора {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — по одному разу.

Чтобы проверить, может ли число быть точным квадратом, воспользуемся свойством делимости на 3. Число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3. Если число $N$ является точным квадратом ($N=k^2$), то его остаток при делении на 3 может быть только 0 или 1 (как показано в пункте а)).

Найдем сумму цифр числа $N$. Цифры числа: две 2, две 9, и по одной: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Сумма $S$ равна:

$S = (2 + 2) + (9 + 9) + (0+1+3+4+5+6+7+8)$

Сумма цифр от 0 до 9 равна 45. Сумма цифр в последней скобке равна сумме всех цифр минус 2 и 9:

$0+1+3+4+5+6+7+8 = 45 - 2 - 9 = 34$.

Тогда общая сумма цифр числа $N$ равна:

$S = 4 + 18 + 34 = 56$.

Теперь найдем остаток от деления суммы цифр на 3:

$56 = 3 \cdot 18 + 2$, следовательно, $56 \equiv 2 \pmod{3}$.

Так как $N \equiv S \pmod{3}$, то и $N \equiv 2 \pmod{3}$.

Точный квадрат при делении на 3 не может давать остаток 2. Следовательно, число $N$ не может быть точным квадратом.

Ответ: Нет, не может.