Номер 5, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 5, страница 314.

№5 (с. 314)
Условие. №5 (с. 314)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 314, номер 5, Условие

5. a) Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3, на 4?

б) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 23?

в) Длины всех сторон прямоугольного треугольника — целые. Могут ли длины катетов быть нечетными числами?

г) В десятичной записи 12-значного числа N цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные — по одному разу. Может ли N быть точным квадратом?

Решение 3. №5 (с. 314)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 314, номер 5, Решение 3
Решение 5. №5 (с. 314)

а)

Чтобы определить, какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3 и на 4, рассмотрим все возможные остатки целого числа $n$ при делении на 3 и 4 и возведем их в квадрат.

При делении на 3:
Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. То есть, $n$ можно представить в виде $n \equiv 0 \pmod{3}$, $n \equiv 1 \pmod{3}$ или $n \equiv 2 \pmod{3}$.
- Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Остаток 0.
- Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Остаток 1.
- Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$. Остаток 1.
Таким образом, точные квадраты при делении на 3 могут давать остатки 0 и 1.

При делении на 4:
Рассмотрим четные и нечетные числа. Любое целое число $n$ можно представить в виде $n \equiv 0, 1, 2$ или $3 \pmod{4}$.
- Если $n$ — четное, то оно может быть $n=2k$. Тогда $n^2 = (2k)^2=4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$. Остаток 0.
- Если $n$ — нечетное, то оно может быть $n=2k+1$. Тогда $n^2 = (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1 \equiv 1 \pmod{4}$. Остаток 1.
Таким образом, точные квадраты при делении на 4 могут давать остатки 0 и 1.

Ответ: При делении на 3 остатки могут быть 0 или 1. При делении на 4 остатки могут быть 0 или 1.

б)

Квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — целые числа. Его дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Поскольку $a, b, c$ — целые числа, то $b^2$ — это квадрат целого числа, а $4ac$ — целое число, кратное 4. Рассмотрим выражение для дискриминанта по модулю 4:

$D \equiv (b^2 - 4ac) \pmod{4}$

Так как $4ac$ делится на 4, то $4ac \equiv 0 \pmod{4}$. Следовательно,

$D \equiv b^2 \pmod{4}$

Из пункта а) мы знаем, что квадрат любого целого числа ($b^2$) при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1.

Рассмотрим число 23. При делении 23 на 4 получаем остаток 3:

$23 = 4 \cdot 5 + 3$, то есть $23 \equiv 3 \pmod{4}$.

Поскольку дискриминант $D$ может быть сравним только с 0 или 1 по модулю 4, а $23 \equiv 3 \pmod{4}$, то дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами не может равняться 23.

Ответ: Нет, не может.

в)

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы прямоугольного треугольника. По условию, $a, b, c$ — целые числа. По теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$.

Предположим, что длины обоих катетов, $a$ и $b$, являются нечетными числами.

Квадрат любого нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. Это можно показать так: если $n = 2k+1$, то $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4(k^2+k)+1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Если $a$ и $b$ — нечетные, то $a^2 \equiv 1 \pmod{4}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Тогда их сумма $a^2 + b^2$ будет сравнима с $1+1$ по модулю 4:

$c^2 = a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$.

Это означает, что квадрат гипотенузы $c^2$ при делении на 4 должен давать остаток 2.

Однако, как было показано в пункте а), квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение неверно. Следовательно, длины катетов не могут быть одновременно нечетными числами.

Ответ: Нет, не могут.

г)

Число $N$ является 12-значным. В его десятичной записи цифра 2 встречается 2 раза, цифра 9 — 2 раза, а остальные цифры из набора {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} — по одному разу.

Чтобы проверить, может ли число быть точным квадратом, воспользуемся свойством делимости на 3. Число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3. Если число $N$ является точным квадратом ($N=k^2$), то его остаток при делении на 3 может быть только 0 или 1 (как показано в пункте а)).

Найдем сумму цифр числа $N$. Цифры числа: две 2, две 9, и по одной: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Сумма $S$ равна:

$S = (2 + 2) + (9 + 9) + (0+1+3+4+5+6+7+8)$

Сумма цифр от 0 до 9 равна 45. Сумма цифр в последней скобке равна сумме всех цифр минус 2 и 9:

$0+1+3+4+5+6+7+8 = 45 - 2 - 9 = 34$.

Тогда общая сумма цифр числа $N$ равна:

$S = 4 + 18 + 34 = 56$.

Теперь найдем остаток от деления суммы цифр на 3:

$56 = 3 \cdot 18 + 2$, следовательно, $56 \equiv 2 \pmod{3}$.

Так как $N \equiv S \pmod{3}$, то и $N \equiv 2 \pmod{3}$.

Точный квадрат при делении на 3 не может давать остаток 2. Следовательно, число $N$ не может быть точным квадратом.

Ответ: Нет, не может.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 314 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 314), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.