Номер 280, страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 280, страница 313.

Условие.

280. При каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 4x + a (a > 0)$, $x = 0$, $x = 2$ и $y = 2$, равна 12?

(Известно, что фигура лежит в верхней полуплоскости.)

Решение 1.

Решение 5.

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, вычисляется с помощью определенного интеграла. Фигура ограничена графиком параболы $y = x^2 + 4x + a$, прямой $y = 2$ и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=2$. Площадь $S$ можно найти как интеграл от модуля разности функций, ограничивающих фигуру сверху и снизу, по промежутку от $x=0$ до $x=2$.

Формула для вычисления площади:

$S = \int_{0}^{2} |(x^2 + 4x + a) - 2| \,dx$

Согласно условию задачи, площадь $S = 12$, и параметр $a > 0$. Дополнительное условие о том, что фигура лежит в верхней полуплоскости, выполняется, так как $y=2>0$, а парабола $y = x^2 + 4x + a$ на отрезке $[0, 2]$ принимает минимальное значение $y(0)=a$, и по условию $a>0$.

Анализ подынтегральной функции

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $f(x) = x^2 + 4x + a - 2$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх. Координата x вершины параболы: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Поскольку вершина параболы ($x=-2$) находится левее отрезка интегрирования $[0, 2]$, на этом отрезке функция $f(x)$ является монотонно возрастающей. Следовательно, взаимное расположение графиков на всем отрезке определяется их положением в левой граничной точке $x=0$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 2]$ достигается в точке $x=0$ и равно $f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + a - 2 = a - 2$.

Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1: Парабола $y = x^2 + 4x + a$ расположена не ниже прямой $y = 2$ на отрезке $[0, 2]$

Этот случай реализуется, если наименьшее значение функции $f(x) = x^2+4x+a-2$ на отрезке $[0, 2]$ неотрицательно. То есть $f(0) = a - 2 \ge 0$, откуда $a \ge 2$.

При этом условии, $|x^2 + 4x + a - 2| = x^2 + 4x + a - 2$ для всех $x \in [0, 2]$. Площадь вычисляется как:

$S = \int_{0}^{2} (x^2 + 4x + a - 2) \,dx$

Найдем значение интеграла:

$\int_{0}^{2} (x^2 + 4x + a - 2) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + (a-2)x \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + (a-2)x \right]_{0}^{2}$

$= \left( \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 + (a-2) \cdot 2 \right) - (0)$

$= \frac{8}{3} + 8 + 2a - 4 = \frac{8}{3} + 4 + 2a = \frac{20}{3} + 2a$

По условию задачи площадь равна 12, составим и решим уравнение:

$\frac{20}{3} + 2a = 12$

$2a = 12 - \frac{20}{3}$

$2a = \frac{36 - 20}{3} = \frac{16}{3}$

$a = \frac{8}{3}$

Проверим соответствие полученного значения условию $a \ge 2$. Значение $a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, что больше 2. Условие $a > 0$ также выполнено. Таким образом, $a = 8/3$ является решением.

Случай 2: Парабола $y = x^2 + 4x + a$ пересекает прямую $y = 2$ или лежит ниже нее на отрезке $[0, 2]$

Этот случай возможен, если $f(0) = a - 2 < 0$, то есть $a < 2$. С учетом исходного ограничения $a > 0$, этот случай рассматривается для $0 < a < 2$.

В этом случае функция площади $S(a) = \int_{0}^{2} |x^2 + 4x + a - 2| \,dx$ является возрастающей функцией от $a$. Найдем ее максимальное значение в этом интервале, которое достигается при $a \to 2^-$.

$\lim_{a \to 2^-} S(a) = S(2) = \frac{20}{3} + 2(2) = \frac{20}{3} + 4 = \frac{32}{3} \approx 10.67$

Поскольку для любого $a \in (0, 2)$ площадь $S(a) < \frac{32}{3} \approx 10.67$, она не может быть равна 12. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай, когда парабола полностью ниже прямой $y=2$ на отрезке, требует, чтобы ее максимальное значение было не выше 2. $y(2) = 12+a \le 2 \implies a \le -10$. Это противоречит условию $a>0$.

Таким образом, единственным решением является значение, найденное в первом случае.

Ответ: $a = \frac{8}{3}$.