Номер 276, страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 276, страница 313.

Условие.

276. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая $y = x + 4$ делит фигуру, ограниченную линиями $y = -\frac{1}{2}x^2$ и $y = 8$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Первым шагом найдем площадь исходной фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{2}x^2$ и $y = 8$. Для этого определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения этих двух линий.

Приравняем уравнения: $ \frac{1}{2}x^2 = 8 $ $ x^2 = 16 $ $ x = \pm 4 $

Таким образом, фигура ограничена по оси $x$ от -4 до 4. Парабола $y = \frac{1}{2}x^2$ находится ниже прямой $y = 8$. Площадь фигуры $S_{общ}$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций: $ S_{общ} = \int_{-4}^{4} (8 - \frac{1}{2}x^2) dx $

Поскольку подынтегральная функция является четной, можно упростить вычисление: $ S_{общ} = 2 \int_{0}^{4} (8 - \frac{1}{2}x^2) dx = 2 \left[ 8x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = 2 \left[ 8x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{4} $ $ S_{общ} = 2 \left( (8 \cdot 4 - \frac{4^3}{6}) - (0) \right) = 2 \left( 32 - \frac{64}{6} \right) = 2 \left( 32 - \frac{32}{3} \right) = 2 \left( \frac{96 - 32}{3} \right) = 2 \cdot \frac{64}{3} = \frac{128}{3} $

Теперь рассмотрим прямую $y = x + 4$, которая делит эту фигуру на две части. Найдем точки пересечения этой прямой с границами исходной фигуры.

Пересечение с параболой $y = \frac{1}{2}x^2$: $ x + 4 = \frac{1}{2}x^2 $ $ x^2 - 2x - 8 = 0 $ По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Соответствующие точки пересечения: $(4, 8)$ и $(-2, 2)$.

Пересечение с прямой $y = 8$: $ x + 4 = 8 $ $ x = 4 $ Точка пересечения: $(4, 8)$.

Прямая $y = x + 4$ пересекает параболу в точках $(-2, 2)$ и $(4, 8)$. Таким образом, одна из двух новых фигур ($S_1$) ограничена сверху прямой $y = x + 4$ и снизу параболой $y = \frac{1}{2}x^2$ на промежутке $x \in [-2, 4]$. Вычислим ее площадь: $ S_1 = \int_{-2}^{4} \left( (x+4) - \frac{1}{2}x^2 \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 4x - \frac{x^3}{6} \right]_{-2}^{4} $

Подставляем пределы интегрирования: $ S_1 = \left( \frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4 - \frac{4^3}{6} \right) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{6} \right) $ $ S_1 = \left( \frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6} \right) - \left( \frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6} \right) $ $ S_1 = \left( 8 + 16 - \frac{32}{3} \right) - \left( 2 - 8 + \frac{4}{3} \right) $ $ S_1 = \left( 24 - \frac{32}{3} \right) - \left( -6 + \frac{4}{3} \right) $ $ S_1 = \left( \frac{72 - 32}{3} \right) - \left( \frac{-18 + 4}{3} \right) = \frac{40}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = \frac{40 + 14}{3} = \frac{54}{3} = 18 $

Площадь второй фигуры ($S_2$) можно найти, вычтя площадь первой фигуры из общей площади: $ S_2 = S_{общ} - S_1 = \frac{128}{3} - 18 = \frac{128}{3} - \frac{54}{3} = \frac{74}{3} $

Итак, прямая $y = x+4$ делит исходную фигуру на две части с площадями 18 и $\frac{74}{3}$.

Ответ: площади фигур равны 18 и $\frac{74}{3}$.