Номер 270, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 270, страница 312.

Условие.

270. Найдите функцию, производная которой равна $2x - 3$ в любой точке $x$ и значение которой в точке 2 равно 2.

Решение 1.

Решение 5.

Пусть искомая функция — это $F(x)$. По условию задачи, её производная в любой точке $x$ равна $2x - 3$. Это можно записать в виде уравнения:

$F'(x) = 2x - 3$

Чтобы найти саму функцию $F(x)$, нужно найти её первообразную, то есть выполнить операцию интегрирования выражения $2x - 3$.

$F(x) = \int (2x - 3) \,dx$

Используя правила интегрирования, находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int 2x \,dx - \int 3 \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = x^2 - 3x + C$

Здесь $C$ — это произвольная постоянная (константа интегрирования). Мы получили семейство функций, производная которых равна $2x - 3$.

Второе условие задачи гласит, что значение функции в точке $x=2$ равно 2, то есть $F(2) = 2$. Используем это условие, чтобы найти конкретное значение константы $C$. Подставим $x=2$ в найденную нами общую формулу функции:

$F(2) = (2)^2 - 3(2) + C = 2$

Выполним вычисления:

$4 - 6 + C = 2$

$-2 + C = 2$

Отсюда находим $C$:

$C = 2 + 2 = 4$

Теперь, подставив найденное значение $C=4$ в общую формулу, мы получим искомую функцию:

$F(x) = x^2 - 3x + 4$

Проверка:
1. Находим производную: $F'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$. Условие выполнено.
2. Находим значение в точке: $F(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$. Условие выполнено.

Ответ: $F(x) = x^2 - 3x + 4$