Номер 269, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 269, страница 312.

Условие.

269. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку M:

а) $f(x) = \frac{2}{x}, M \left(\frac{1}{e}; 2\right);$

б) $f(x) = x^{-2} + \cos x, M \left(\frac{\pi}{2}; -\frac{2}{\pi}\right);$

в) $f(x) = x^{-4}, M (2; -3);$

г) $f(x) = \sin 2x, M (0; 1).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{x}$, график которой проходит через точку $M(\frac{1}{e}; 2)$.

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln|x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Далее, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{1}{e}; 2)$. Это означает, что при $x = \frac{1}{e}$, значение функции $F(x)$ равно 2, то есть $F(\frac{1}{e}) = 2$. Подставим эти значения в найденное выражение для $F(x)$.

Поскольку абсцисса точки $x = \frac{1}{e}$ положительна, мы можем опустить знак модуля: $ \ln|x| = \ln(x)$.

$F(\frac{1}{e}) = 2 \ln(\frac{1}{e}) + C = 2$.

Зная, что $\ln(\frac{1}{e}) = \ln(e^{-1}) = -1$, получаем:

$2(-1) + C = 2$

$-2 + C = 2$

$C = 4$

3. Теперь подставим найденное значение $C=4$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию:

$F(x) = 2 \ln(x) + 4$ (на интервале $x>0$, который содержит точку М).

Ответ: $F(x) = 2 \ln(x) + 4$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-2} + \cos x$, график которой проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; -\frac{2}{\pi})$.

1. Найдем общий вид первообразной путем интегрирования $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{-2} + \cos x) dx = \int x^{-2} dx + \int \cos x dx$.

Используя правила интегрирования, получаем:

$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + \sin x + C = -\frac{1}{x} + \sin x + C$.

2. Используем координаты точки $M(\frac{\pi}{2}; -\frac{2}{\pi})$ для нахождения константы $C$.

$F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\pi/2} + \sin(\frac{\pi}{2}) + C = -\frac{2}{\pi}$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$-\frac{2}{\pi} + 1 + C = -\frac{2}{\pi}$

$1 + C = 0$

$C = -1$

3. Подставляем $C=-1$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \sin x - 1$.

в)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = x^{-4}$, график которой проходит через точку $M(2; -3)$.

1. Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.

2. Используем координаты точки $M(2; -3)$ для нахождения константы $C$.

$F(2) = -\frac{1}{3(2)^3} + C = -3$.

$-\frac{1}{3 \cdot 8} + C = -3$

$-\frac{1}{24} + C = -3$

$C = -3 + \frac{1}{24} = -\frac{72}{24} + \frac{1}{24} = -\frac{71}{24}$.

3. Подставляем найденное значение $C$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{3x^3} - \frac{71}{24}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} - \frac{71}{24}$.

г)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin 2x$, график которой проходит через точку $M(0; 1)$.

1. Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sin(2x) dx$.

Используя формулу для интеграла от синуса сложного аргумента $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, получаем:

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

2. Используем координаты точки $M(0; 1)$ для нахождения константы $C$.

$F(0) = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) + C = 1$.

Зная, что $\cos(0) = 1$, получаем:

$-\frac{1}{2}(1) + C = 1$

$-\frac{1}{2} + C = 1$

$C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

3. Подставляем $C=\frac{3}{2}$ в общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{2}$.