Номер 262, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 262, страница 311.

Условие.

262. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Ответьте на вопросы:

а) На какой высоте от поверхности земли оно будет через 5 с?

б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от земли (считать $g = 10 \text{ м/с}^2$)?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с поверхностью земли. Ось Y направим вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) расположим на уровне земли. При таких условиях данные задачи выглядят следующим образом:

• Начальная высота: $h_0 = 10$ м
• Начальная скорость: $v_0 = 40$ м/с
• Ускорение свободного падения: $g = 10$ м/с². Так как оно направлено вниз, против оси Y, его проекция на эту ось будет отрицательной.

Уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх, которое описывает высоту $h$ в зависимости от времени $t$, имеет вид:

$h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

а) На какой высоте от поверхности земли оно будет через 5 с?

Чтобы найти высоту тела через $t = 5$ с, подставим это значение в уравнение движения:

$h(5) = h_0 + v_0 \cdot 5 - \frac{g \cdot 5^2}{2}$

Подставляем известные числовые значения:

$h(5) = 10 + 40 \cdot 5 - \frac{10 \cdot 25}{2}$

$h(5) = 10 + 200 - \frac{250}{2}$

$h(5) = 10 + 200 - 125 = 85$ м.

Ответ: Через 5 секунд тело будет на высоте 85 м от поверхности земли.

б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от земли?

Сначала найдем время, за которое тело достигнет наивысшей точки подъема. В наивысшей точке траектории скорость тела на мгновение становится равной нулю. Уравнение для скорости тела в любой момент времени $t$ имеет вид:

$v(t) = v_0 - gt$

Приравняв скорость к нулю, найдем время подъема $t_{подъема}$:

$0 = v_0 - gt_{подъема}$

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$

Подставляем значения:

$t_{подъема} = \frac{40 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 4$ с.

Теперь, зная время подъема, найдем максимальную высоту $h_{max}$. Для этого подставим найденное время $t_{подъема} = 4$ с в исходное уравнение движения:

$h_{max} = h(t_{подъема}) = h_0 + v_0 t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2}$

$h_{max} = 10 + 40 \cdot 4 - \frac{10 \cdot 4^2}{2}$

$h_{max} = 10 + 160 - \frac{10 \cdot 16}{2}$

$h_{max} = 10 + 160 - 80 = 90$ м.

Ответ: Тело достигнет наивысшей точки через 4 секунды; эта точка находится на высоте 90 м от земли.