Номер 255, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 255, страница 310.

Условие.

255. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени по закону $\varphi (t) = 0.1t^2 - 0.5t + 0.2$. Найдите угловую скорость вращения тела в момент времени $t = 20 \, \text{с}$. (Угол измеряется в радианах.)

Решение 1.

Решение 5.

Угловая скорость вращения тела $ω(t)$ является первой производной от угла поворота $φ(t)$ по времени $t$. Иными словами, это скорость изменения угла поворота.

Математически это выражается формулой:

$ω(t) = φ'(t)$

Нам дан закон изменения угла поворота:

$φ(t) = 0,1t^2 - 0,5t + 0,2$

Найдем производную этой функции, чтобы получить закон изменения угловой скорости:

$ω(t) = φ'(t) = (0,1t^2 - 0,5t + 0,2)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$ω(t) = 2 \cdot 0,1t^{2-1} - 1 \cdot 0,5t^{1-1} + 0 = 0,2t - 0,5$

Теперь, чтобы найти угловую скорость в момент времени $t = 20$ с, подставим это значение в полученное уравнение для $ω(t)$:

$ω(20) = 0,2 \cdot 20 - 0,5 = 4 - 0,5 = 3,5$

Так как угол измеряется в радианах, а время в секундах, то угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: $3,5$ рад/с.