Номер 254, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 254, страница 310.

Условие.

254. По прямой движутся две точки. Определите промежуток времени, в течение которого скорость первой точки была меньше скорости второй, если:

a) $x_1 (t) = 2 \frac{2}{3} t^3$, $x_2 (t) = 2t - 3$;

б) $x_1 (t) = 9t^2 + 1$, $x_2 (t) = t^3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи необходимо найти выражения для скоростей каждой точки, а затем решить неравенство $v_1(t) < v_2(t)$. Скорость является первой производной координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. Время $t$ по физическому смыслу является неотрицательной величиной, т.е. $t \ge 0$.

а) Даны уравнения движения:

$x_1(t) = 2\frac{2}{3}t^3 = \frac{8}{3}t^3$

$x_2(t) = 2t - 3$

Найдем скорости точек, взяв производные от их координат по времени:

$v_1(t) = x_1'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{8}{3}t^3\right) = \frac{8}{3} \cdot 3t^2 = 8t^2$

$v_2(t) = x_2'(t) = \frac{d}{dt}(2t - 3) = 2$

Теперь составим и решим неравенство $v_1(t) < v_2(t)$:

$8t^2 < 2$

Разделим обе части на 8:

$t^2 < \frac{2}{8}$

$t^2 < \frac{1}{4}$

Решением этого неравенства является интервал $-\frac{1}{2} < t < \frac{1}{2}$.

Учитывая, что время не может быть отрицательным ($t \ge 0$), выбираем ту часть решения, которая удовлетворяет этому условию:

$0 \le t < \frac{1}{2}$

Ответ: промежуток времени $t \in [0, 1/2)$.

б) Даны уравнения движения:

$x_1(t) = 9t^2 + 1$

$x_2(t) = t^3$

Найдем скорости точек:

$v_1(t) = x_1'(t) = \frac{d}{dt}(9t^2 + 1) = 18t$

$v_2(t) = x_2'(t) = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2$

Составим и решим неравенство $v_1(t) < v_2(t)$:

$18t < 3t^2$

Перенесем все члены в правую часть и разделим на 3:

$0 < 3t^2 - 18t$

$t^2 - 6t > 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t - 6) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $t(t-6)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=6$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Выражение $t(t-6)$ положительно при $t < 0$ и при $t > 6$.

Итак, решение неравенства: $t \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Снова учитываем условие $t \ge 0$. Заметим, что при $t=0$ скорости обеих точек равны нулю ($v_1(0)=0, v_2(0)=0$), поэтому неравенство $v_1(t) < v_2(t)$ не выполняется. Следовательно, нас интересует решение при $t>0$.

Пересечение множества решений $t \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$ с условием $t > 0$ дает нам искомый промежуток:

$t > 6$

Ответ: промежуток времени $t \in (6, \infty)$.