Номер 252, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 252, страница 310.

Условие.

252. На параболе $y = x^2$ найдите точку, расстояние от которой до точки A $(2; 0,5)$ наименьшее.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомая точка на параболе $y = x^2$ имеет координаты $M(x; y)$. Поскольку точка $M$ принадлежит параболе, ее координаты можно записать как $M(x; x^2)$.

Расстояние $d$ между двумя точками, $M(x; x^2)$ и $A(2; 0,5)$, вычисляется по формуле расстояния между двумя точками на плоскости: $d = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2}$ $d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2}$.

Чтобы найти наименьшее расстояние, нужно найти значение $x$, при котором функция $d(x)$ достигает своего минимума. Задача минимизации функции $d(x)$ эквивалентна задаче минимизации подкоренного выражения, так как функция квадратного корня является монотонно возрастающей. Обозначим подкоренное выражение как функцию $f(x)$: $f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - 0,5)^2$.

Для нахождения минимума функции $f(x)$ найдем ее производную. Сначала раскроем скобки и упростим выражение: $f(x) = (x^2 - 4x + 4) + ((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 0,5 + 0,5^2) = x^2 - 4x + 4 + x^4 - x^2 + 0,25$ $f(x) = x^4 - 4x + 4,25$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$: $f'(x) = (x^4 - 4x + 4,25)' = 4x^3 - 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x^3 - 4 = 0$ $4x^3 = 4$ $x^3 = 1$ $x = 1$.

Мы получили одну критическую точку $x = 1$. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную: $f''(x) = (4x^3 - 4)' = 12x^2$. Вычислим значение второй производной в точке $x = 1$: $f''(1) = 12 \cdot 1^2 = 12$. Поскольку $f''(1) > 0$, точка $x=1$ является точкой локального минимума. Так как это единственная критическая точка на всей числовой оси, это точка глобального минимума.

Теперь найдем соответствующую координату $y$ искомой точки, подставив значение $x=1$ в уравнение параболы $y = x^2$: $y = 1^2 = 1$.

Таким образом, точка на параболе, расстояние от которой до точки $A(2; 0,5)$ наименьшее, имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.