Номер 245, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 245, страница 310.

№245 (с. 310)
Условие. №245 (с. 310)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 310, номер 245, Условие

245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
Как это сделать?

Решение 1. №245 (с. 310)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 310, номер 245, Решение 1
Решение 5. №245 (с. 310)

Пусть данный цилиндр имеет радиус основания $r$ и высоту $h$. Эти величины являются постоянными. Описанный конус, имеющий наименьший объем, должен быть соосным с цилиндром, а их основания должны лежать в одной плоскости. Пусть радиус основания конуса равен $R$, а высота конуса равна $H$. Эти величины мы будем изменять, чтобы найти минимальный объем.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением цилиндра будет прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Прямоугольник вписан в треугольник так, что одна его сторона (основание) лежит на основании треугольника, а две другие вершины лежат на боковых сторонах треугольника.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные в осевом сечении. Один треугольник образован высотой конуса $H$ и его радиусом $R$. Другой, подобный ему, — частью высоты конуса, расположенной над цилиндром (ее длина $H-h$), и радиусом верхнего основания цилиндра $r$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их катетов: $ \frac{R}{r} = \frac{H}{H-h} $ Из этого соотношения выразим радиус конуса $R$ через его высоту $H$ и заданные параметры цилиндра $r$ и $h$: $ R = \frac{rH}{H-h} $ Для того чтобы конус был описан около цилиндра, его высота должна быть больше высоты цилиндра, то есть $H > h$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H $ Подставим полученное выражение для $R$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема $V$ от одной переменной $H$: $ V(H) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{rH}{H-h}\right)^2 H = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H^3}{(H-h)^2} $

Чтобы найти наименьший объем, необходимо найти значение $H$, при котором функция $V(H)$ достигает своего минимума на интервале $(h, +\infty)$. Для этого найдем производную функции $V(H)$ по переменной $H$ и приравняем ее к нулю. Постоянный множитель $\frac{\pi r^2}{3}$ не влияет на положение точки минимума, поэтому для упрощения можно исследовать функцию $f(H) = \frac{H^3}{(H-h)^2}$.

Используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = H^3$ и $v = (H-h)^2$, получаем: $ f'(H) = \frac{3H^2(H-h)^2 - H^3 \cdot 2(H-h)}{((H-h)^2)^2} $ Вынесем общий множитель $H^2(H-h)$ в числителе: $ f'(H) = \frac{H^2(H-h)[3(H-h) - 2H]}{(H-h)^4} = \frac{H^2(3H - 3h - 2H)}{(H-h)^3} $ $ f'(H) = \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} $

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $ \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} = 0 $ Учитывая, что $H > h$, знаменатель не равен нулю, и $H^2 > 0$. Следовательно, равенство выполняется только если $H - 3h = 0$, откуда получаем $H = 3h$.

Чтобы убедиться, что $H = 3h$ является точкой минимума, исследуем знак производной в окрестности этой точки. Знак производной $f'(H)$ определяется знаком выражения $(H-3h)$, так как остальные множители ($H^2$ и $(H-h)^3$) положительны при $H > h$. При $h < H < 3h$, выражение $(H-3h)$ отрицательно, значит $f'(H) < 0$, и функция убывает. При $H > 3h$, выражение $(H-3h)$ положительно, значит $f'(H) > 0$, и функция возрастает. Следовательно, в точке $H = 3h$ функция объема $V(H)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем соответствующий радиус основания конуса $R$, подставив $H = 3h$ в ранее полученную формулу: $ R = \frac{rH}{H-h} = \frac{r(3h)}{3h-h} = \frac{3rh}{2h} = \frac{3}{2}r $

Таким образом, чтобы около данного цилиндра с радиусом $r$ и высотой $h$ описать конус наименьшего объема, его высота $H$ должна быть в три раза больше высоты цилиндра, а его радиус $R$ — в полтора раза больше радиуса цилиндра.

Ответ: Чтобы описать около данного цилиндра конус наименьшего объема, нужно выбрать высоту конуса в три раза больше высоты цилиндра, а радиус основания конуса — в полтора раза больше радиуса основания цилиндра. То есть, если радиус и высота цилиндра равны $r$ и $h$ соответственно, то радиус и высота конуса наименьшего объема должны быть $R = \frac{3}{2}r$ и $H = 3h$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 245 расположенного на странице 310 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №245 (с. 310), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.