Номер 245, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 245, страница 310.
№245 (с. 310)
Условие. №245 (с. 310)
скриншот условия

245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
Как это сделать?
Решение 1. №245 (с. 310)

Решение 5. №245 (с. 310)
Пусть данный цилиндр имеет радиус основания $r$ и высоту $h$. Эти величины являются постоянными. Описанный конус, имеющий наименьший объем, должен быть соосным с цилиндром, а их основания должны лежать в одной плоскости. Пусть радиус основания конуса равен $R$, а высота конуса равна $H$. Эти величины мы будем изменять, чтобы найти минимальный объем.
Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением цилиндра будет прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Прямоугольник вписан в треугольник так, что одна его сторона (основание) лежит на основании треугольника, а две другие вершины лежат на боковых сторонах треугольника.
Рассмотрим подобные треугольники, образованные в осевом сечении. Один треугольник образован высотой конуса $H$ и его радиусом $R$. Другой, подобный ему, — частью высоты конуса, расположенной над цилиндром (ее длина $H-h$), и радиусом верхнего основания цилиндра $r$.
Из подобия этих треугольников следует соотношение их катетов: $ \frac{R}{r} = \frac{H}{H-h} $ Из этого соотношения выразим радиус конуса $R$ через его высоту $H$ и заданные параметры цилиндра $r$ и $h$: $ R = \frac{rH}{H-h} $ Для того чтобы конус был описан около цилиндра, его высота должна быть больше высоты цилиндра, то есть $H > h$.
Объем конуса $V$ вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H $ Подставим полученное выражение для $R$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема $V$ от одной переменной $H$: $ V(H) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{rH}{H-h}\right)^2 H = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H^3}{(H-h)^2} $
Чтобы найти наименьший объем, необходимо найти значение $H$, при котором функция $V(H)$ достигает своего минимума на интервале $(h, +\infty)$. Для этого найдем производную функции $V(H)$ по переменной $H$ и приравняем ее к нулю. Постоянный множитель $\frac{\pi r^2}{3}$ не влияет на положение точки минимума, поэтому для упрощения можно исследовать функцию $f(H) = \frac{H^3}{(H-h)^2}$.
Используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = H^3$ и $v = (H-h)^2$, получаем: $ f'(H) = \frac{3H^2(H-h)^2 - H^3 \cdot 2(H-h)}{((H-h)^2)^2} $ Вынесем общий множитель $H^2(H-h)$ в числителе: $ f'(H) = \frac{H^2(H-h)[3(H-h) - 2H]}{(H-h)^4} = \frac{H^2(3H - 3h - 2H)}{(H-h)^3} $ $ f'(H) = \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} $
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $ \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} = 0 $ Учитывая, что $H > h$, знаменатель не равен нулю, и $H^2 > 0$. Следовательно, равенство выполняется только если $H - 3h = 0$, откуда получаем $H = 3h$.
Чтобы убедиться, что $H = 3h$ является точкой минимума, исследуем знак производной в окрестности этой точки. Знак производной $f'(H)$ определяется знаком выражения $(H-3h)$, так как остальные множители ($H^2$ и $(H-h)^3$) положительны при $H > h$. При $h < H < 3h$, выражение $(H-3h)$ отрицательно, значит $f'(H) < 0$, и функция убывает. При $H > 3h$, выражение $(H-3h)$ положительно, значит $f'(H) > 0$, и функция возрастает. Следовательно, в точке $H = 3h$ функция объема $V(H)$ достигает своего минимума.
Теперь найдем соответствующий радиус основания конуса $R$, подставив $H = 3h$ в ранее полученную формулу: $ R = \frac{rH}{H-h} = \frac{r(3h)}{3h-h} = \frac{3rh}{2h} = \frac{3}{2}r $
Таким образом, чтобы около данного цилиндра с радиусом $r$ и высотой $h$ описать конус наименьшего объема, его высота $H$ должна быть в три раза больше высоты цилиндра, а его радиус $R$ — в полтора раза больше радиуса цилиндра.
Ответ: Чтобы описать около данного цилиндра конус наименьшего объема, нужно выбрать высоту конуса в три раза больше высоты цилиндра, а радиус основания конуса — в полтора раза больше радиуса основания цилиндра. То есть, если радиус и высота цилиндра равны $r$ и $h$ соответственно, то радиус и высота конуса наименьшего объема должны быть $R = \frac{3}{2}r$ и $H = 3h$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 245 расположенного на странице 310 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №245 (с. 310), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.