Номер 245, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 245, страница 310.

Условие.

245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
Как это сделать?

Решение 1.

Решение 5.

Пусть данный цилиндр имеет радиус основания $r$ и высоту $h$. Эти величины являются постоянными. Описанный конус, имеющий наименьший объем, должен быть соосным с цилиндром, а их основания должны лежать в одной плоскости. Пусть радиус основания конуса равен $R$, а высота конуса равна $H$. Эти величины мы будем изменять, чтобы найти минимальный объем.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением цилиндра будет прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$. Прямоугольник вписан в треугольник так, что одна его сторона (основание) лежит на основании треугольника, а две другие вершины лежат на боковых сторонах треугольника.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные в осевом сечении. Один треугольник образован высотой конуса $H$ и его радиусом $R$. Другой, подобный ему, — частью высоты конуса, расположенной над цилиндром (ее длина $H-h$), и радиусом верхнего основания цилиндра $r$.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их катетов: $ \frac{R}{r} = \frac{H}{H-h} $ Из этого соотношения выразим радиус конуса $R$ через его высоту $H$ и заданные параметры цилиндра $r$ и $h$: $ R = \frac{rH}{H-h} $ Для того чтобы конус был описан около цилиндра, его высота должна быть больше высоты цилиндра, то есть $H > h$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H $ Подставим полученное выражение для $R$ в формулу объема, чтобы получить функцию объема $V$ от одной переменной $H$: $ V(H) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{rH}{H-h}\right)^2 H = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H^3}{(H-h)^2} $

Чтобы найти наименьший объем, необходимо найти значение $H$, при котором функция $V(H)$ достигает своего минимума на интервале $(h, +\infty)$. Для этого найдем производную функции $V(H)$ по переменной $H$ и приравняем ее к нулю. Постоянный множитель $\frac{\pi r^2}{3}$ не влияет на положение точки минимума, поэтому для упрощения можно исследовать функцию $f(H) = \frac{H^3}{(H-h)^2}$.

Используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = H^3$ и $v = (H-h)^2$, получаем: $ f'(H) = \frac{3H^2(H-h)^2 - H^3 \cdot 2(H-h)}{((H-h)^2)^2} $ Вынесем общий множитель $H^2(H-h)$ в числителе: $ f'(H) = \frac{H^2(H-h)[3(H-h) - 2H]}{(H-h)^4} = \frac{H^2(3H - 3h - 2H)}{(H-h)^3} $ $ f'(H) = \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} $

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $ \frac{H^2(H - 3h)}{(H-h)^3} = 0 $ Учитывая, что $H > h$, знаменатель не равен нулю, и $H^2 > 0$. Следовательно, равенство выполняется только если $H - 3h = 0$, откуда получаем $H = 3h$.

Чтобы убедиться, что $H = 3h$ является точкой минимума, исследуем знак производной в окрестности этой точки. Знак производной $f'(H)$ определяется знаком выражения $(H-3h)$, так как остальные множители ($H^2$ и $(H-h)^3$) положительны при $H > h$. При $h < H < 3h$, выражение $(H-3h)$ отрицательно, значит $f'(H) < 0$, и функция убывает. При $H > 3h$, выражение $(H-3h)$ положительно, значит $f'(H) > 0$, и функция возрастает. Следовательно, в точке $H = 3h$ функция объема $V(H)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем соответствующий радиус основания конуса $R$, подставив $H = 3h$ в ранее полученную формулу: $ R = \frac{rH}{H-h} = \frac{r(3h)}{3h-h} = \frac{3rh}{2h} = \frac{3}{2}r $

Таким образом, чтобы около данного цилиндра с радиусом $r$ и высотой $h$ описать конус наименьшего объема, его высота $H$ должна быть в три раза больше высоты цилиндра, а его радиус $R$ — в полтора раза больше радиуса цилиндра.

Ответ: Чтобы описать около данного цилиндра конус наименьшего объема, нужно выбрать высоту конуса в три раза больше высоты цилиндра, а радиус основания конуса — в полтора раза больше радиуса основания цилиндра. То есть, если радиус и высота цилиндра равны $r$ и $h$ соответственно, то радиус и высота конуса наименьшего объема должны быть $R = \frac{3}{2}r$ и $H = 3h$.