Номер 243, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 243, страница 309.

Условие.

243. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом $R$.

Решение 1.

Решение 5.

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус и высоту вписанного цилиндра как $r$ и $h$ соответственно.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Чтобы найти максимальный объем, нам нужно выразить объем как функцию одной переменной. Для этого установим связь между $r$, $h$ и $R$. Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. В сечении мы получим прямоугольник (сечение цилиндра), вписанный в круг (сечение шара).

Связь между параметрами можно увидеть из прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$. По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Из этого уравнения выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$

Теперь подставим это выражение для $r^2$ в формулу объема цилиндра: $V(h) = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2h - \frac{\pi h^3}{4}$

Мы получили функцию объема $V(h)$, зависящую только от высоты $h$. Чтобы найти высоту, при которой объем максимален, нужно найти производную этой функции по $h$ и приравнять ее к нулю. $V'(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2h - \frac{\pi h^3}{4}) = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$

Разделим обе части на $\pi$ (так как $\pi \neq 0$): $R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$

Отсюда выразим $h^2$: $\frac{3h^2}{4} = R^2$ $h^2 = \frac{4R^2}{3}$

Так как высота $h$ должна быть положительной величиной, извлекаем квадратный корень: $h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную: $V''(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}) = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$

Поскольку $h > 0$, значение второй производной в найденной точке $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$ будет отрицательным ($V''(h) < 0$), что подтверждает, что данная точка является точкой максимума.

Таким образом, высота цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом $R$, равна $\frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.