Номер 239, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 239, страница 309.

Условие.

239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи введем декартову систему координат. Пусть перекресток находится в начале координат (0, 0). Одну улицу расположим вдоль оси Ox, а другую — вдоль оси Oy, так как они пересекаются под прямым углом.

Пусть в начальный момент времени ($t=0$) первая машина, движущаяся со скоростью $v_1 = 40$ км/ч, находится на расстоянии $d_1 = 2$ км от перекрестка. Ее положение на оси Ox можно описать координатой $x_1(0) = 2$. Вторая машина, движущаяся со скоростью $v_2 = 50$ км/ч, находится на расстоянии $d_2 = 3$ км от перекрестка. Ее положение на оси Oy — $y_2(0) = 3$.

Поскольку машины движутся к перекрестку, их координаты будут уменьшаться со временем. Положение каждой машины в момент времени $t$ (в часах) можно описать следующими уравнениями:

• Координаты первой машины: $(x_1(t), y_1(t)) = (2 - v_1 t, 0) = (2 - 40t, 0)$
• Координаты второй машины: $(x_2(t), y_2(t)) = (0, 3 - v_2 t) = (0, 3 - 50t)$

Расстояние $S$ между машинами в любой момент времени $t$ можно найти по теореме Пифагора, так как оси перпендикулярны. Расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются расстояния от каждой машины до перекрестка.

Квадрат расстояния между машинами $S^2$ равен:

$S^2(t) = (x_1(t) - x_2(t))^2 + (y_1(t) - y_2(t))^2$

$S^2(t) = ( (2 - 40t) - 0 )^2 + ( 0 - (3 - 50t) )^2$

$S^2(t) = (2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2$

Чтобы найти время, когда расстояние $S(t)$ будет наименьшим, нам нужно найти минимум этой функции. Минимизировать функцию $S(t)$ эквивалентно минимизации ее квадрата $S^2(t)$, что избавляет нас от работы с квадратным корнем. Обозначим $f(t) = S^2(t)$.

Раскроем скобки в выражении для $f(t)$:

$f(t) = (4 - 2 \cdot 2 \cdot 40t + 1600t^2) + (9 - 2 \cdot 3 \cdot 50t + 2500t^2)$

$f(t) = 4 - 160t + 1600t^2 + 9 - 300t + 2500t^2$

$f(t) = 4100t^2 - 460t + 13$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому ее минимум находится в вершине. Чтобы найти точку минимума, возьмем производную функции $f(t)$ по времени $t$ и приравняем ее к нулю.

$f'(t) = \frac{d}{dt}(4100t^2 - 460t + 13) = 2 \cdot 4100t - 460 = 8200t - 460$

Приравняем производную к нулю для нахождения экстремума:

$8200t - 460 = 0$

$8200t = 460$

$t = \frac{460}{8200} = \frac{46}{820} = \frac{23}{410}$ часа.

Можно перевести это время в минуты для большей наглядности:

$t = \frac{23}{410} \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = \frac{1380}{410} \text{ мин} = \frac{138}{41} \text{ мин} \approx 3.37$ минуты.

Ответ: Расстояние между машинами станет наименьшим через $t = \frac{23}{410}$ часа (или $\frac{138}{41}$ минуты, что примерно равно 3,37 минуты).