Номер 239, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 239, страница 309.
№239 (с. 309)
Условие. №239 (с. 309)
скриншот условия

239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.
Решение 1. №239 (с. 309)

Решение 3. №239 (с. 309)


Решение 5. №239 (с. 309)
Для решения этой задачи введем декартову систему координат. Пусть перекресток находится в начале координат (0, 0). Одну улицу расположим вдоль оси Ox, а другую — вдоль оси Oy, так как они пересекаются под прямым углом.
Пусть в начальный момент времени ($t=0$) первая машина, движущаяся со скоростью $v_1 = 40$ км/ч, находится на расстоянии $d_1 = 2$ км от перекрестка. Ее положение на оси Ox можно описать координатой $x_1(0) = 2$. Вторая машина, движущаяся со скоростью $v_2 = 50$ км/ч, находится на расстоянии $d_2 = 3$ км от перекрестка. Ее положение на оси Oy — $y_2(0) = 3$.
Поскольку машины движутся к перекрестку, их координаты будут уменьшаться со временем. Положение каждой машины в момент времени $t$ (в часах) можно описать следующими уравнениями:
- Координаты первой машины: $(x_1(t), y_1(t)) = (2 - v_1 t, 0) = (2 - 40t, 0)$
- Координаты второй машины: $(x_2(t), y_2(t)) = (0, 3 - v_2 t) = (0, 3 - 50t)$
Расстояние $S$ между машинами в любой момент времени $t$ можно найти по теореме Пифагора, так как оси перпендикулярны. Расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются расстояния от каждой машины до перекрестка.
Квадрат расстояния между машинами $S^2$ равен:
$S^2(t) = (x_1(t) - x_2(t))^2 + (y_1(t) - y_2(t))^2$
$S^2(t) = ( (2 - 40t) - 0 )^2 + ( 0 - (3 - 50t) )^2$
$S^2(t) = (2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2$
Чтобы найти время, когда расстояние $S(t)$ будет наименьшим, нам нужно найти минимум этой функции. Минимизировать функцию $S(t)$ эквивалентно минимизации ее квадрата $S^2(t)$, что избавляет нас от работы с квадратным корнем. Обозначим $f(t) = S^2(t)$.
Раскроем скобки в выражении для $f(t)$:
$f(t) = (4 - 2 \cdot 2 \cdot 40t + 1600t^2) + (9 - 2 \cdot 3 \cdot 50t + 2500t^2)$
$f(t) = 4 - 160t + 1600t^2 + 9 - 300t + 2500t^2$
$f(t) = 4100t^2 - 460t + 13$
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому ее минимум находится в вершине. Чтобы найти точку минимума, возьмем производную функции $f(t)$ по времени $t$ и приравняем ее к нулю.
$f'(t) = \frac{d}{dt}(4100t^2 - 460t + 13) = 2 \cdot 4100t - 460 = 8200t - 460$
Приравняем производную к нулю для нахождения экстремума:
$8200t - 460 = 0$
$8200t = 460$
$t = \frac{460}{8200} = \frac{46}{820} = \frac{23}{410}$ часа.
Можно перевести это время в минуты для большей наглядности:
$t = \frac{23}{410} \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = \frac{1380}{410} \text{ мин} = \frac{138}{41} \text{ мин} \approx 3.37$ минуты.
Ответ: Расстояние между машинами станет наименьшим через $t = \frac{23}{410}$ часа (или $\frac{138}{41}$ минуты, что примерно равно 3,37 минуты).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 239 расположенного на странице 309 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №239 (с. 309), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.