Номер 236, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 236, страница 309.

Условие.

236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была:

а) наибольшей;

б) наименьшей.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть число 10 представлено в виде суммы двух неотрицательных слагаемых $x$ и $y$.

Тогда $x + y = 10$, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из этого следует, что $y = 10 - x$. Так как $y \ge 0$, то $10 - x \ge 0$, что означает $x \le 10$. Таким образом, переменная $x$ находится в пределах от 0 до 10, то есть $x \in [0, 10]$.

Нам нужно найти экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) суммы кубов этих чисел. Обозначим эту сумму как функцию $S(x)$:

$S(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (10 - x)^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$S(x) = x^3 + (10^3 - 3 \cdot 10^2 \cdot x + 3 \cdot 10 \cdot x^2 - x^3)$

$S(x) = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3$

$S(x) = 30x^2 - 300x + 1000$

Мы получили квадратичную функцию. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен), следовательно, она имеет точку минимума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[0, 10]$, нужно найти ее значения в точке минимума и на концах отрезка.

Найдем производную функции $S(x)$ для определения критических точек:

$S'(x) = (30x^2 - 300x + 1000)' = 60x - 300$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума:

$60x - 300 = 0$

$60x = 300$

$x = 5$

Точка $x=5$ принадлежит отрезку $[0, 10]$. Это точка минимума функции.

Теперь вычислим значения функции $S(x)$ в критической точке $x=5$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=10$.

• При $x=0$: слагаемые равны 0 и 10. Сумма их кубов: $S(0) = 0^3 + 10^3 = 1000$.
• При $x=5$: слагаемые равны 5 и 5. Сумма их кубов: $S(5) = 5^3 + 5^3 = 125 + 125 = 250$.
• При $x=10$: слагаемые равны 10 и 0. Сумма их кубов: $S(10) = 10^3 + 0^3 = 1000$.

Сравнивая полученные значения, мы можем сделать выводы для каждого из пунктов.

а) наибольшей

Наибольшее значение суммы кубов равно 1000. Оно достигается, когда одно из слагаемых равно 0, а другое 10. Таким образом, число 10 нужно представить в виде суммы $10 + 0$.

Ответ: $10 = 10 + 0$.

б) наименьшей

Наименьшее значение суммы кубов равно 250. Оно достигается, когда оба слагаемых равны 5. Таким образом, число 10 нужно представить в виде суммы $5 + 5$.

Ответ: $10 = 5 + 5$.