Номер 236, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 236, страница 309.
№236 (с. 309)
Условие. №236 (с. 309)
скриншот условия

236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была:
а) наибольшей;
б) наименьшей.
Решение 1. №236 (с. 309)

Решение 3. №236 (с. 309)

Решение 5. №236 (с. 309)
Пусть число 10 представлено в виде суммы двух неотрицательных слагаемых $x$ и $y$.
Тогда $x + y = 10$, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Из этого следует, что $y = 10 - x$. Так как $y \ge 0$, то $10 - x \ge 0$, что означает $x \le 10$. Таким образом, переменная $x$ находится в пределах от 0 до 10, то есть $x \in [0, 10]$.
Нам нужно найти экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) суммы кубов этих чисел. Обозначим эту сумму как функцию $S(x)$:
$S(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (10 - x)^3$
Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$S(x) = x^3 + (10^3 - 3 \cdot 10^2 \cdot x + 3 \cdot 10 \cdot x^2 - x^3)$
$S(x) = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3$
$S(x) = 30x^2 - 300x + 1000$
Мы получили квадратичную функцию. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен), следовательно, она имеет точку минимума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[0, 10]$, нужно найти ее значения в точке минимума и на концах отрезка.
Найдем производную функции $S(x)$ для определения критических точек:
$S'(x) = (30x^2 - 300x + 1000)' = 60x - 300$
Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума:
$60x - 300 = 0$
$60x = 300$
$x = 5$
Точка $x=5$ принадлежит отрезку $[0, 10]$. Это точка минимума функции.
Теперь вычислим значения функции $S(x)$ в критической точке $x=5$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=10$.
- При $x=0$: слагаемые равны 0 и 10. Сумма их кубов: $S(0) = 0^3 + 10^3 = 1000$.
- При $x=5$: слагаемые равны 5 и 5. Сумма их кубов: $S(5) = 5^3 + 5^3 = 125 + 125 = 250$.
- При $x=10$: слагаемые равны 10 и 0. Сумма их кубов: $S(10) = 10^3 + 0^3 = 1000$.
Сравнивая полученные значения, мы можем сделать выводы для каждого из пунктов.
а) наибольшей
Наибольшее значение суммы кубов равно 1000. Оно достигается, когда одно из слагаемых равно 0, а другое 10. Таким образом, число 10 нужно представить в виде суммы $10 + 0$.
Ответ: $10 = 10 + 0$.
б) наименьшей
Наименьшее значение суммы кубов равно 250. Оно достигается, когда оба слагаемых равны 5. Таким образом, число 10 нужно представить в виде суммы $5 + 5$.
Ответ: $10 = 5 + 5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 236 расположенного на странице 309 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №236 (с. 309), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.