Номер 241, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 241, страница 309.
№241 (с. 309)
Условие. №241 (с. 309)
скриншот условия

241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?
Решение 5. №241 (с. 309)
Обозначим искомое расстояние от человека до основания колонны через $x$. Для решения задачи будем рассматривать высоты объектов относительно уровня глаз человека, который находится на высоте $1,6$ м от земли.
Высота основания статуи (то есть верха колонны) над уровнем глаз наблюдателя составляет:
$h_1 = 5,6 \text{ м} - 1,6 \text{ м} = 4 \text{ м}$
Высота верхушки статуи над уровнем глаз наблюдателя составляет:
$h_2 = (5,6 \text{ м} + 4 \text{ м}) - 1,6 \text{ м} = 9,6 \text{ м} - 1,6 \text{ м} = 8 \text{ м}$
Пусть $\gamma$ — это угол, под которым человек видит статую. Этот угол можно найти как разность двух углов: $\gamma = \alpha - \beta$, где $\alpha$ — это угол между горизонталью (линией взгляда) и направлением на верхушку статуи, а $\beta$ — угол между горизонталью и направлением на основание статуи.
Из прямоугольных треугольников, катетами которых являются расстояние $x$ и высоты $h_1$ и $h_2$, можно выразить тангенсы этих углов:
$\tan \alpha = \frac{h_2}{x} = \frac{8}{x}$
$\tan \beta = \frac{h_1}{x} = \frac{4}{x}$
Для нахождения угла $\gamma$ воспользуемся формулой тангенса разности:
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$
Подставив полученные выражения, получим функцию, связывающую $\tan \gamma$ и расстояние $x$:
$\tan \gamma(x) = \frac{\frac{8}{x} - \frac{4}{x}}{1 + (\frac{8}{x})(\frac{4}{x})} = \frac{\frac{4}{x}}{1 + \frac{32}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x}}{\frac{x^2 + 32}{x^2}} = \frac{4x}{x^2 + 32}$
Угол $\gamma$ будет наибольшим, когда его тангенс принимает максимальное значение (так как для острых углов, $0 < \gamma < \pi/2$, функция тангенса является возрастающей). Следовательно, нам нужно найти значение $x > 0$, при котором функция $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 32}$ достигает своего максимума.
Для нахождения максимума найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю. Используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 32) - 4x(x^2 + 32)'}{(x^2 + 32)^2} = \frac{4(x^2 + 32) - 4x(2x)}{(x^2 + 32)^2}$
$f'(x) = \frac{4x^2 + 128 - 8x^2}{(x^2 + 32)^2} = \frac{128 - 4x^2}{(x^2 + 32)^2}$
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 128 - 4x^2 = 0$
$4x^2 = 128$
$x^2 = 32$
$x = \sqrt{32}$ (так как расстояние $x$ должно быть положительным)
Упростим корень:
$x = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак производной. Знаменатель $(x^2 + 32)^2$ всегда положителен. Знак производной определяется числителем $128 - 4x^2$.
- При $0 < x < 4\sqrt{2}$, $x^2 < 32$, $128 - 4x^2 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
- При $x > 4\sqrt{2}$, $x^2 > 32$, $128 - 4x^2 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$ и функция убывает.
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус, точка $x = 4\sqrt{2}$ является точкой максимума.
Следовательно, чтобы видеть статую под наибольшим углом, человек должен встать на расстоянии $4\sqrt{2}$ м от колонны. (Приблизительно $5,66$ м).
Ответ: $4\sqrt{2}$ м.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 241 расположенного на странице 309 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №241 (с. 309), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.