Номер 241, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 241, страница 309.

Условие.

241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Решение 5.

Обозначим искомое расстояние от человека до основания колонны через $x$. Для решения задачи будем рассматривать высоты объектов относительно уровня глаз человека, который находится на высоте $1,6$ м от земли.

Высота основания статуи (то есть верха колонны) над уровнем глаз наблюдателя составляет:
$h_1 = 5,6 \text{ м} - 1,6 \text{ м} = 4 \text{ м}$

Высота верхушки статуи над уровнем глаз наблюдателя составляет:
$h_2 = (5,6 \text{ м} + 4 \text{ м}) - 1,6 \text{ м} = 9,6 \text{ м} - 1,6 \text{ м} = 8 \text{ м}$

Пусть $\gamma$ — это угол, под которым человек видит статую. Этот угол можно найти как разность двух углов: $\gamma = \alpha - \beta$, где $\alpha$ — это угол между горизонталью (линией взгляда) и направлением на верхушку статуи, а $\beta$ — угол между горизонталью и направлением на основание статуи.

Из прямоугольных треугольников, катетами которых являются расстояние $x$ и высоты $h_1$ и $h_2$, можно выразить тангенсы этих углов:
$\tan \alpha = \frac{h_2}{x} = \frac{8}{x}$
$\tan \beta = \frac{h_1}{x} = \frac{4}{x}$

Для нахождения угла $\gamma$ воспользуемся формулой тангенса разности:
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Подставив полученные выражения, получим функцию, связывающую $\tan \gamma$ и расстояние $x$:
$\tan \gamma(x) = \frac{\frac{8}{x} - \frac{4}{x}}{1 + (\frac{8}{x})(\frac{4}{x})} = \frac{\frac{4}{x}}{1 + \frac{32}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x}}{\frac{x^2 + 32}{x^2}} = \frac{4x}{x^2 + 32}$

Угол $\gamma$ будет наибольшим, когда его тангенс принимает максимальное значение (так как для острых углов, $0 < \gamma < \pi/2$, функция тангенса является возрастающей). Следовательно, нам нужно найти значение $x > 0$, при котором функция $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 32}$ достигает своего максимума.

Для нахождения максимума найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю. Используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 32) - 4x(x^2 + 32)'}{(x^2 + 32)^2} = \frac{4(x^2 + 32) - 4x(2x)}{(x^2 + 32)^2}$
$f'(x) = \frac{4x^2 + 128 - 8x^2}{(x^2 + 32)^2} = \frac{128 - 4x^2}{(x^2 + 32)^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 128 - 4x^2 = 0$
$4x^2 = 128$
$x^2 = 32$
$x = \sqrt{32}$ (так как расстояние $x$ должно быть положительным)

Упростим корень:
$x = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак производной. Знаменатель $(x^2 + 32)^2$ всегда положителен. Знак производной определяется числителем $128 - 4x^2$.
- При $0 < x < 4\sqrt{2}$, $x^2 < 32$, $128 - 4x^2 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
- При $x > 4\sqrt{2}$, $x^2 > 32$, $128 - 4x^2 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$ и функция убывает.
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус, точка $x = 4\sqrt{2}$ является точкой максимума.

Следовательно, чтобы видеть статую под наибольшим углом, человек должен встать на расстоянии $4\sqrt{2}$ м от колонны. (Приблизительно $5,66$ м).

Ответ: $4\sqrt{2}$ м.