Страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

233. a) $f(x) = 1 - 2 \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos^2 x - \cos x;$

в) $f(x) = 3 - \cos \frac{x}{2};$

г) $f(x) = \sin^2 x - \sin x.$

а) Дана функция $f(x) = 1 - 2 \sin 2x$.
Чтобы найти область значений этой функции, мы начнем с области значений синуса.
Известно, что для любого аргумента $z$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin z \le 1$.
В нашем случае $z = 2x$, поэтому:
$-1 \le \sin 2x \le 1$.
Теперь выполним преобразования, чтобы получить выражение для $f(x)$.
1. Умножим все части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-2) \ge -2 \sin 2x \ge 1 \cdot (-2)$
$2 \ge -2 \sin 2x \ge -2$.
Запишем в привычном порядке:
$-2 \le -2 \sin 2x \le 2$.
2. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 - 2 \le 1 - 2 \sin 2x \le 1 + 2$
$-1 \le 1 - 2 \sin 2x \le 3$.
Таким образом, $-1 \le f(x) \le 3$.
Область значений функции $E(f)$ — это отрезок $[-1, 3]$.
Ответ: $E(f) = [-1, 3]$.

б) Дана функция $f(x) = \cos^2 x - \cos x$.
Это сложная функция. Чтобы найти ее область значений, введем замену переменной.
Пусть $t = \cos x$.
Так как область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то новая переменная $t$ может принимать значения только из этого отрезка: $t \in [-1, 1]$.
После замены функция принимает вид $g(t) = t^2 - t$.
Теперь задача сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции $g(t) = t^2 - t$ на отрезке $[-1, 1]$.
Графиком функции $g(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше нуля). Свое наименьшее значение парабола принимает в вершине.
Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс:
$t_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку $t_0 = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наименьшее значение функции $g(t)$ на этом отрезке будет равно значению в вершине:
$g_{min} = g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:
$g(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
$g(1) = 1^2 - 1 = 0$.
Сравнивая эти значения, получаем, что наибольшее значение функции равно 2.
$g_{max} = 2$.
Таким образом, все значения функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ лежат в пределах от $-\frac{1}{4}$ до $2$.
Следовательно, область значений исходной функции $f(x)$ — это отрезок $[-\frac{1}{4}, 2]$.
Ответ: $E(f) = [-\frac{1}{4}, 2]$.

в) Дана функция $f(x) = 3 - \cos \frac{x}{2}$.
Найдем область значений этой функции, используя свойства функции косинуса.
Известно, что для любого аргумента $z$ выполняется неравенство:
$-1 \le \cos z \le 1$.
В данном случае $z = \frac{x}{2}$, поэтому:
$-1 \le \cos \frac{x}{2} \le 1$.
Выполним необходимые преобразования.
1. Умножим все части неравенства на $-1$. Знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-1) \cdot (-1) \ge -\cos \frac{x}{2} \ge 1 \cdot (-1)$
$1 \ge -\cos \frac{x}{2} \ge -1$.
Запишем в стандартном виде:
$-1 \le -\cos \frac{x}{2} \le 1$.
2. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$3 - 1 \le 3 - \cos \frac{x}{2} \le 3 + 1$
$2 \le 3 - \cos \frac{x}{2} \le 4$.
Таким образом, $2 \le f(x) \le 4$.
Область значений функции $E(f)$ — это отрезок $[2, 4]$.
Ответ: $E(f) = [2, 4]$.

г) Дана функция $f(x) = \sin^2 x - \sin x$.
Эта задача решается аналогично задаче б). Введем замену переменной.
Пусть $t = \sin x$.
Область значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому новая переменная $t$ принимает значения из отрезка $t \in [-1, 1]$.
Функция примет вид $h(t) = t^2 - t$.
Задача сводится к нахождению области значений квадратичной функции $h(t) = t^2 - t$ на отрезке $[-1, 1]$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине.
Координата вершины по оси абсцисс:
$t_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.
Так как точка $t_0 = \frac{1}{2}$ находится внутри отрезка $[-1, 1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению в вершине:
$h_{min} = h(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
Наибольшее значение ищем на концах отрезка:
$h(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
$h(1) = 1^2 - 1 = 0$.
Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение равно 2.
$h_{max} = 2$.
Следовательно, область значений функции $h(t)$ на отрезке $[-1, 1]$, а значит и исходной функции $f(x)$, — это отрезок $[-\frac{1}{4}, 2]$.
Ответ: $E(f) = [-\frac{1}{4}, 2]$.

234. а) $f(x) = \sqrt{x} \ln x;$

б) $f(x) = \frac{e^x}{x};$

в) $f(x) = 2^{x^2-4x};$

г) $f(x) = x - \ln x.$

а)

Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x} \ln x$, которая является произведением двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \ln x$, используем правило дифференцирования произведения (правило Лейбница):

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

Сначала найдем производные каждой из функций:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$f'(x) = (\sqrt{x})' \ln x + \sqrt{x} (\ln x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$

Упростим полученное выражение. Заметим, что $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

$f'(x) = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

б)

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{e^x}{x}$, которая является частным двух функций $u(x) = e^x$ и $v(x) = x$, используем правило дифференцирования частного:

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Подставляем эти производные в формулу:

$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}$

Вынесем общий множитель $e^x$ в числителе за скобки для упрощения:

$f'(x) = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$

в)

Функция $f(x) = 2^{x^2-4x}$ является сложной показательной функцией вида $a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени $u(x) = x^2-4x$. Для ее дифференцирования используем формулу производной показательной функции и цепное правило (правило дифференцирования сложной функции):

$(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$

Найдем производную показателя степени $u(x)$:

$u'(x) = (x^2-4x)' = (x^2)' - (4x)' = 2x - 4$

Теперь подставляем все в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = 2^{x^2-4x} \cdot \ln 2 \cdot (2x-4)$

Для удобства записи можно переставить множители:

$f'(x) = (2x - 4) \cdot 2^{x^2-4x} \ln 2$

Ответ: $f'(x) = (2x - 4) \cdot 2^{x^2-4x} \ln 2$

г)

Для нахождения производной функции $f(x) = x - \ln x$, которая является разностью двух функций, используем правило дифференцирования разности, согласно которому производная разности равна разности производных:

$(u - v)' = u' - v'$

Находим производные каждой из функций-слагаемых:

$(x)' = 1$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Применяем правило разности:

$f'(x) = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$

Можно привести выражение к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$

Ответ: $f'(x) = \frac{x-1}{x}$

235. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (если они существуют) на данном промежутке:

а) $f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4, [1; 3];$

б) $f(x) = 2 \cos x - \cos 2x, [0; \pi];$

в) $f(x) = \frac{2}{x} + x^2, [\frac{1}{2}; 1];$

г) $f(x) = \sin x - x, [-\pi; \pi].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке (отрезке) используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти стационарные и критические точки функции (решив уравнение $f'(x)=0$ и найдя точки, где производная не существует).
3. Выбрать те из найденных точек, которые принадлежат данному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений найти наибольшее и наименьшее.

Дана функция $f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4$ на отрезке $[1; 3]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (18x^2 + 8x^3 - 3x^4)' = 36x + 24x^2 - 12x^3$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$36x + 24x^2 - 12x^3 = 0$

$-12x(x^2 - 2x - 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, и корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$, которыми являются $x_2 = 3$ и $x_3 = -1$.

3. Из всех критических точек ($ -1, 0, 3$) отрезку $[1; 3]$ принадлежит только точка $x=3$.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=1$, $x=3$ (точка $x=3$ является и концом отрезка, и критической точкой):

$f(1) = 18(1)^2 + 8(1)^3 - 3(1)^4 = 18 + 8 - 3 = 23$.

$f(3) = 18(3)^2 + 8(3)^3 - 3(3)^4 = 18 \cdot 9 + 8 \cdot 27 - 3 \cdot 81 = 162 + 216 - 243 = 135$.

5. Сравнивая значения $f(1)=23$ и $f(3)=135$, заключаем, что наименьшее значение функции равно $23$, а наибольшее равно $135$.

Ответ: наименьшее значение $23$, наибольшее значение $135$.

Дана функция $f(x) = 2 \cos x - \cos 2x$ на отрезке $[0; \pi]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2 \cos x - \cos 2x)' = -2 \sin x - (-\sin 2x \cdot 2) = -2 \sin x + 2 \sin 2x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-2 \sin x + 2 \sin 2x = 0$

$\sin 2x - \sin x = 0$

$2 \sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2 \cos x - 1) = 0$

Отсюда либо $\sin x = 0$, либо $2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.

3. На отрезке $[0; \pi]$ уравнение $\sin x = 0$ имеет корни $x=0$ и $x=\pi$. Уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$ имеет корень $x=\frac{\pi}{3}$.

4. Вычисляем значения функции в точках $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$:

$f(0) = 2 \cos 0 - \cos(0) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

$f(\frac{\pi}{3}) = 2 \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

$f(\pi) = 2 \cos \pi - \cos(2\pi) = 2(-1) - 1 = -3$.

5. Сравнивая значения $1$, $\frac{3}{2}$ и $-3$, находим, что наименьшее значение функции равно $-3$, а наибольшее равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $-3$, наибольшее значение $\frac{3}{2}$.

Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} + x^2$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{x} + x^2)' = -\frac{2}{x^2} + 2x$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$-\frac{2}{x^2} + 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{2}{x^2} \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$.

3. Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[\frac{1}{2}; 1]$ и является его правым концом.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{1/2} + (\frac{1}{2})^2 = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} = 4.25$.

$f(1) = \frac{2}{1} + 1^2 = 2 + 1 = 3$.

5. Сравнивая значения $\frac{17}{4}$ и $3$, видим, что наименьшее значение функции равно $3$, а наибольшее равно $\frac{17}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $3$, наибольшее значение $\frac{17}{4}$.

Дана функция $f(x) = \sin x - x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\sin x - x)' = \cos x - 1$.

2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1$.

3. На отрезке $[-\pi; \pi]$ это уравнение имеет единственный корень $x=0$.

4. Вычисляем значения функции в точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-\pi$ и $x=\pi$:

$f(-\pi) = \sin(-\pi) - (-\pi) = 0 + \pi = \pi$.

$f(0) = \sin(0) - 0 = 0$.

$f(\pi) = \sin(\pi) - \pi = 0 - \pi = -\pi$.

5. Сравнивая значения $\pi$, $0$ и $-\pi$, находим, что наименьшее значение функции равно $-\pi$, а наибольшее равно $\pi$.

Ответ: наименьшее значение $-\pi$, наибольшее значение $\pi$.

236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была:

а) наибольшей;

б) наименьшей.

Пусть число 10 представлено в виде суммы двух неотрицательных слагаемых $x$ и $y$.

Тогда $x + y = 10$, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Из этого следует, что $y = 10 - x$. Так как $y \ge 0$, то $10 - x \ge 0$, что означает $x \le 10$. Таким образом, переменная $x$ находится в пределах от 0 до 10, то есть $x \in [0, 10]$.

Нам нужно найти экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) суммы кубов этих чисел. Обозначим эту сумму как функцию $S(x)$:

$S(x) = x^3 + y^3 = x^3 + (10 - x)^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$S(x) = x^3 + (10^3 - 3 \cdot 10^2 \cdot x + 3 \cdot 10 \cdot x^2 - x^3)$

$S(x) = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3$

$S(x) = 30x^2 - 300x + 1000$

Мы получили квадратичную функцию. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен), следовательно, она имеет точку минимума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[0, 10]$, нужно найти ее значения в точке минимума и на концах отрезка.

Найдем производную функции $S(x)$ для определения критических точек:

$S'(x) = (30x^2 - 300x + 1000)' = 60x - 300$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума:

$60x - 300 = 0$

$60x = 300$

$x = 5$

Точка $x=5$ принадлежит отрезку $[0, 10]$. Это точка минимума функции.

Теперь вычислим значения функции $S(x)$ в критической точке $x=5$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=10$.

• При $x=0$: слагаемые равны 0 и 10. Сумма их кубов: $S(0) = 0^3 + 10^3 = 1000$.
• При $x=5$: слагаемые равны 5 и 5. Сумма их кубов: $S(5) = 5^3 + 5^3 = 125 + 125 = 250$.
• При $x=10$: слагаемые равны 10 и 0. Сумма их кубов: $S(10) = 10^3 + 0^3 = 1000$.

Сравнивая полученные значения, мы можем сделать выводы для каждого из пунктов.

а) наибольшей

Наибольшее значение суммы кубов равно 1000. Оно достигается, когда одно из слагаемых равно 0, а другое 10. Таким образом, число 10 нужно представить в виде суммы $10 + 0$.

Ответ: $10 = 10 + 0$.

б) наименьшей

Наименьшее значение суммы кубов равно 250. Оно достигается, когда оба слагаемых равны 5. Таким образом, число 10 нужно представить в виде суммы $5 + 5$.

Ответ: $10 = 5 + 5$.

237. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, их сумма составляет 20 см:
$a + b = 20$

Площадь $S$ прямоугольного треугольника определяется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} a \cdot b$

Для того чтобы найти максимальное значение площади, выразим площадь как функцию одной переменной. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = 20 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади:
$S(a) = \frac{1}{2} a (20 - a) = \frac{1}{2} (20a - a^2) = 10a - \frac{1}{2}a^2$

Полученная функция $S(a) = -\frac{1}{2}a^2 + 10a$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен ($- \frac{1}{2} < 0$). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находят по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A = -\frac{1}{2}$ и $B = 10$.

Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной:
$a = -\frac{10}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{10}{-1} = 10$ см.

Итак, один катет равен 10 см. Найдем длину второго катета:
$b = 20 - a = 20 - 10 = 10$ см.

Таким образом, для того чтобы площадь прямоугольного треугольника была наибольшей, он должен быть равнобедренным.

Ответ: чтобы площадь треугольника была наибольшей, длины катетов должны быть по 10 см каждая.

238. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$. Сумма квадратов всех его сторон равна $S = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Это можно записать в виде формулы: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения выражения $d_1^2 + d_2^2$ при заданном условии.

По условию задачи, сумма длин диагоналей равна 12 см: $d_1 + d_2 = 12$.

Выразим одну диагональ через другую: $d_2 = 12 - d_1$. Подставим это выражение в сумму квадратов, которую необходимо минимизировать:

$F(d_1) = d_1^2 + (12 - d_1)^2$

Раскроем скобки:

$F(d_1) = d_1^2 + 144 - 24d_1 + d_1^2 = 2d_1^2 - 24d_1 + 144$.

Мы получили квадратичную функцию $F(d_1)$. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $d_1^2$ (равный 2) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае переменная — $d_1$, а коэффициенты $a=2$ и $b=-24$.

$d_{1, \text{вершина}} = -\frac{-24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.

Следовательно, наименьшее значение суммы квадратов диагоналей достигается при $d_1 = 6$ см. Тогда вторая диагональ $d_2 = 12 - 6 = 6$ см.

Вычислим это наименьшее значение:

$F_{min} = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.

Поскольку сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, то искомое наименьшее значение суммы квадратов всех сторон параллелограмма также равно 72.

Ответ: 72 см².

239. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.

Для решения этой задачи введем декартову систему координат. Пусть перекресток находится в начале координат (0, 0). Одну улицу расположим вдоль оси Ox, а другую — вдоль оси Oy, так как они пересекаются под прямым углом.

Пусть в начальный момент времени ($t=0$) первая машина, движущаяся со скоростью $v_1 = 40$ км/ч, находится на расстоянии $d_1 = 2$ км от перекрестка. Ее положение на оси Ox можно описать координатой $x_1(0) = 2$. Вторая машина, движущаяся со скоростью $v_2 = 50$ км/ч, находится на расстоянии $d_2 = 3$ км от перекрестка. Ее положение на оси Oy — $y_2(0) = 3$.

Поскольку машины движутся к перекрестку, их координаты будут уменьшаться со временем. Положение каждой машины в момент времени $t$ (в часах) можно описать следующими уравнениями:

• Координаты первой машины: $(x_1(t), y_1(t)) = (2 - v_1 t, 0) = (2 - 40t, 0)$
• Координаты второй машины: $(x_2(t), y_2(t)) = (0, 3 - v_2 t) = (0, 3 - 50t)$

Расстояние $S$ между машинами в любой момент времени $t$ можно найти по теореме Пифагора, так как оси перпендикулярны. Расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются расстояния от каждой машины до перекрестка.

Квадрат расстояния между машинами $S^2$ равен:

$S^2(t) = (x_1(t) - x_2(t))^2 + (y_1(t) - y_2(t))^2$

$S^2(t) = ( (2 - 40t) - 0 )^2 + ( 0 - (3 - 50t) )^2$

$S^2(t) = (2 - 40t)^2 + (3 - 50t)^2$

Чтобы найти время, когда расстояние $S(t)$ будет наименьшим, нам нужно найти минимум этой функции. Минимизировать функцию $S(t)$ эквивалентно минимизации ее квадрата $S^2(t)$, что избавляет нас от работы с квадратным корнем. Обозначим $f(t) = S^2(t)$.

Раскроем скобки в выражении для $f(t)$:

$f(t) = (4 - 2 \cdot 2 \cdot 40t + 1600t^2) + (9 - 2 \cdot 3 \cdot 50t + 2500t^2)$

$f(t) = 4 - 160t + 1600t^2 + 9 - 300t + 2500t^2$

$f(t) = 4100t^2 - 460t + 13$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому ее минимум находится в вершине. Чтобы найти точку минимума, возьмем производную функции $f(t)$ по времени $t$ и приравняем ее к нулю.

$f'(t) = \frac{d}{dt}(4100t^2 - 460t + 13) = 2 \cdot 4100t - 460 = 8200t - 460$

Приравняем производную к нулю для нахождения экстремума:

$8200t - 460 = 0$

$8200t = 460$

$t = \frac{460}{8200} = \frac{46}{820} = \frac{23}{410}$ часа.

Можно перевести это время в минуты для большей наглядности:

$t = \frac{23}{410} \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = \frac{1380}{410} \text{ мин} = \frac{138}{41} \text{ мин} \approx 3.37$ минуты.

Ответ: Расстояние между машинами станет наименьшим через $t = \frac{23}{410}$ часа (или $\frac{138}{41}$ минуты, что примерно равно 3,37 минуты).

240. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?

Для решения этой задачи необходимо найти расстояние от стены, при котором угол зрения на картину по вертикали будет максимальным. Пусть $x$ — искомое расстояние от наблюдателя до стены в метрах.

Обозначим уровень глаз наблюдателя как горизонтальную прямую. Пусть нижний край картины находится на высоте $h_1$ от этой прямой, а верхний край — на высоте $h_2$. Согласно условию, высота картины составляет $1,4$ м, а ее нижний край на $1,8$ м выше глаз наблюдателя. Таким образом, имеем:

$h_1 = 1,8$ м

$h_2 = 1,8 + 1,4 = 3,2$ м

Пусть $\alpha$ — угол между горизонтальной линией взгляда и направлением на нижний край картины, а $\beta$ — угол между горизонтальной линией взгляда и направлением на верхний край картины. Угол зрения по вертикали, который мы хотим максимизировать, равен $\gamma = \beta - \alpha$.

Из прямоугольных треугольников, образованных глазом наблюдателя, точкой на стене на уровне глаз и краями картины, можно выразить тангенсы этих углов:

$tan(\alpha) = \frac{h_1}{x} = \frac{1,8}{x}$

$tan(\beta) = \frac{h_2}{x} = \frac{3,2}{x}$

Для максимизации угла $\gamma$ (который является острым углом в интервале $(0, \pi/2)$), можно максимизировать его тангенс, так как функция тангенса на этом интервале является возрастающей. Используем формулу тангенса разности углов:

$tan(\gamma) = tan(\beta - \alpha) = \frac{tan(\beta) - tan(\alpha)}{1 + tan(\beta) \cdot tan(\alpha)}$

Подставим выражения для $tan(\alpha)$ и $tan(\beta)$:

$tan(\gamma) = \frac{\frac{3,2}{x} - \frac{1,8}{x}}{1 + \frac{3,2}{x} \cdot \frac{1,8}{x}} = \frac{\frac{1,4}{x}}{1 + \frac{5,76}{x^2}} = \frac{\frac{1,4}{x}}{\frac{x^2 + 5,76}{x^2}} = \frac{1,4x}{x^2 + 5,76}$

Теперь нам нужно найти максимум функции $f(x) = \frac{1,4x}{x^2 + 5,76}$ при $x > 0$. Для этого найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 1,4x$ и $v(x) = x^2 + 5,76$. Тогда $u'(x) = 1,4$ и $v'(x) = 2x$.

$f'(x) = \frac{1,4(x^2 + 5,76) - 1,4x(2x)}{(x^2 + 5,76)^2} = \frac{1,4x^2 + 1,4 \cdot 5,76 - 2,8x^2}{(x^2 + 5,76)^2} = \frac{1,4(5,76 - x^2)}{(x^2 + 5,76)^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$f'(x) = 0 \implies 1,4(5,76 - x^2) = 0$

$5,76 - x^2 = 0$

$x^2 = 5,76$

Так как расстояние $x$ должно быть положительным, берем положительный корень:

$x = \sqrt{5,76} = 2,4$ м

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак производной. Знаменатель $(x^2 + 5,76)^2$ всегда положителен, поэтому знак производной определяется знаком выражения $(5,76 - x^2)$.

Если $0 < x < 2,4$, то $x^2 < 5,76$, и производная $f'(x)$ положительна, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

Если $x > 2,4$, то $x^2 > 5,76$, и производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно, функция $f(x)$ убывает.

Таким образом, при переходе через точку $x = 2,4$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точке максимума. Значит, при $x = 2,4$ м угол зрения $\gamma$ будет наибольшим.

Ответ: Наблюдатель должен встать на расстоянии 2,4 м от стены.

241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Обозначим искомое расстояние от человека до основания колонны через $x$. Для решения задачи будем рассматривать высоты объектов относительно уровня глаз человека, который находится на высоте $1,6$ м от земли.

Высота основания статуи (то есть верха колонны) над уровнем глаз наблюдателя составляет:
$h_1 = 5,6 \text{ м} - 1,6 \text{ м} = 4 \text{ м}$

Высота верхушки статуи над уровнем глаз наблюдателя составляет:
$h_2 = (5,6 \text{ м} + 4 \text{ м}) - 1,6 \text{ м} = 9,6 \text{ м} - 1,6 \text{ м} = 8 \text{ м}$

Пусть $\gamma$ — это угол, под которым человек видит статую. Этот угол можно найти как разность двух углов: $\gamma = \alpha - \beta$, где $\alpha$ — это угол между горизонталью (линией взгляда) и направлением на верхушку статуи, а $\beta$ — угол между горизонталью и направлением на основание статуи.

Из прямоугольных треугольников, катетами которых являются расстояние $x$ и высоты $h_1$ и $h_2$, можно выразить тангенсы этих углов:
$\tan \alpha = \frac{h_2}{x} = \frac{8}{x}$
$\tan \beta = \frac{h_1}{x} = \frac{4}{x}$

Для нахождения угла $\gamma$ воспользуемся формулой тангенса разности:
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Подставив полученные выражения, получим функцию, связывающую $\tan \gamma$ и расстояние $x$:
$\tan \gamma(x) = \frac{\frac{8}{x} - \frac{4}{x}}{1 + (\frac{8}{x})(\frac{4}{x})} = \frac{\frac{4}{x}}{1 + \frac{32}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x}}{\frac{x^2 + 32}{x^2}} = \frac{4x}{x^2 + 32}$

Угол $\gamma$ будет наибольшим, когда его тангенс принимает максимальное значение (так как для острых углов, $0 < \gamma < \pi/2$, функция тангенса является возрастающей). Следовательно, нам нужно найти значение $x > 0$, при котором функция $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 32}$ достигает своего максимума.

Для нахождения максимума найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю. Используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 32) - 4x(x^2 + 32)'}{(x^2 + 32)^2} = \frac{4(x^2 + 32) - 4x(2x)}{(x^2 + 32)^2}$
$f'(x) = \frac{4x^2 + 128 - 8x^2}{(x^2 + 32)^2} = \frac{128 - 4x^2}{(x^2 + 32)^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 128 - 4x^2 = 0$
$4x^2 = 128$
$x^2 = 32$
$x = \sqrt{32}$ (так как расстояние $x$ должно быть положительным)

Упростим корень:
$x = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проверим знак производной. Знаменатель $(x^2 + 32)^2$ всегда положителен. Знак производной определяется числителем $128 - 4x^2$.
- При $0 < x < 4\sqrt{2}$, $x^2 < 32$, $128 - 4x^2 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$ и функция возрастает.
- При $x > 4\sqrt{2}$, $x^2 > 32$, $128 - 4x^2 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$ и функция убывает.
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус, точка $x = 4\sqrt{2}$ является точкой максимума.

Следовательно, чтобы видеть статую под наибольшим углом, человек должен встать на расстоянии $4\sqrt{2}$ м от колонны. (Приблизительно $5,66$ м).

Ответ: $4\sqrt{2}$ м.

242. Из всех цилиндров, имеющих объем $16\pi \text{ м}^3$, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Задача состоит в том, чтобы найти размеры $r$ и $h$, при которых площадь полной поверхности $S$ будет минимальной при заданном объеме $V = 16\pi$ м³.

Формула объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$.

Формула площади полной поверхности цилиндра: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.

Из условия, что объем равен $16\pi$ м³, получаем уравнение:
$\pi r^2 h = 16\pi$
Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим связь между $r$ и $h$:
$r^2 h = 16$
Отсюда можно выразить высоту $h$ через радиус $r$:
$h = \frac{16}{r^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности. Это позволит нам представить $S$ как функцию одной переменной $r$:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{16}{r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{32\pi}{r}$

Для нахождения минимума функции $S(r)$ необходимо найти ее производную по $r$ и приравнять ее к нулю.
$S'(r) = \frac{d}{dr} \left(2\pi r^2 + 32\pi r^{-1}\right) = 4\pi r - \frac{32\pi}{r^2}$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(r) = 0$:
$4\pi r - \frac{32\pi}{r^2} = 0$
$4\pi r = \frac{32\pi}{r^2}$
Умножим обе части на $r^2$ (поскольку $r > 0$):
$4\pi r^3 = 32\pi$
$r^3 = \frac{32\pi}{4\pi}$
$r^3 = 8$
$r = \sqrt[3]{8} = 2$ м

Чтобы убедиться, что найденное значение $r=2$ соответствует точке минимума, воспользуемся тестом второй производной. Найдем вторую производную $S''(r)$:
$S''(r) = \frac{d}{dr} \left(4\pi r - 32\pi r^{-2}\right) = 4\pi - 32\pi(-2)r^{-3} = 4\pi + \frac{64\pi}{r^3}$
Вычислим значение $S''(r)$ в точке $r=2$:
$S''(2) = 4\pi + \frac{64\pi}{2^3} = 4\pi + \frac{64\pi}{8} = 4\pi + 8\pi = 12\pi$
Поскольку $S''(2) > 0$, точка $r=2$ является точкой минимума для функции $S(r)$.

Теперь, зная оптимальный радиус, найдем соответствующую высоту $h$:
$h = \frac{16}{r^2} = \frac{16}{2^2} = \frac{16}{4} = 4$ м.

Таким образом, цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности при объеме $16\pi$ м³ имеет радиус основания 2 м и высоту 4 м. Примечательно, что для такого цилиндра высота равна диаметру основания ($h=2r$).

Ответ: Цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности имеет радиус основания 2 м и высоту 4 м.

243. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом $R$.

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус и высоту вписанного цилиндра как $r$ и $h$ соответственно.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Чтобы найти максимальный объем, нам нужно выразить объем как функцию одной переменной. Для этого установим связь между $r$, $h$ и $R$. Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. В сечении мы получим прямоугольник (сечение цилиндра), вписанный в круг (сечение шара).

Связь между параметрами можно увидеть из прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$. По теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Из этого уравнения выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$

Теперь подставим это выражение для $r^2$ в формулу объема цилиндра: $V(h) = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2h - \frac{\pi h^3}{4}$

Мы получили функцию объема $V(h)$, зависящую только от высоты $h$. Чтобы найти высоту, при которой объем максимален, нужно найти производную этой функции по $h$ и приравнять ее к нулю. $V'(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2h - \frac{\pi h^3}{4}) = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$

Разделим обе части на $\pi$ (так как $\pi \neq 0$): $R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$

Отсюда выразим $h^2$: $\frac{3h^2}{4} = R^2$ $h^2 = \frac{4R^2}{3}$

Так как высота $h$ должна быть положительной величиной, извлекаем квадратный корень: $h = \sqrt{\frac{4R^2}{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную: $V''(h) = \frac{d}{dh} (\pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}) = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$

Поскольку $h > 0$, значение второй производной в найденной точке $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$ будет отрицательным ($V''(h) < 0$), что подтверждает, что данная точка является точкой максимума.

Таким образом, высота цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом $R$, равна $\frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $h = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

244. В конус, радиус основания которого $R$ и высота $H$, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности. Найдите радиус цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. В конус вписан цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $h$, причем оси конуса и цилиндра совпадают.

Для нахождения связи между размерами цилиндра ($r$, $h$) и конуса ($R$, $H$) рассмотрим их осевое сечение. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2R$. Сечение вписанного цилиндра — это прямоугольник высотой $h$ и основанием $2r$.

Из подобия прямоугольных треугольников в осевом сечении (большого, образованного высотой и радиусом конуса, и малого, находящегося над цилиндром) следует соотношение:

Из этого соотношения выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$:

Радиус вписанного цилиндра $r$ может принимать значения в интервале $0 < r < R$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

Чтобы найти наибольшее значение площади, выразим ее как функцию одной переменной $r$, подставив найденное выражение для $h$:

Теперь необходимо найти максимум функции $S(r)$ на интервале $r \in (0, R)$. Функция $S(r)$ является квадратичной относительно $r$. Ее поведение (направление ветвей параболы) зависит от знака коэффициента при $r^2$, то есть от выражения $1 - \frac{H}{R}$.

Найдем производную функции $S(r)$ по $r$ для определения точек экстремума:

Приравняем производную к нулю:

Отсюда находим критическую точку:

Проанализируем полученный результат и исследуем поведение функции $S(r)$ в зависимости от соотношения $H$ и $R$.

Случай 1: $H > 2R$

В этом случае $H > R$, поэтому коэффициент при $r^2$ в функции $S(r)$, равный $1 - H/R$, отрицателен. Это означает, что $S(r)$ является параболой, ветви которой направлены вниз. Следовательно, в своей вершине функция имеет максимум. Проверим, находится ли абсцисса вершины $r = \frac{HR}{2(H-R)}$ в интервале $(0, R)$.

Поскольку $H > R > 0$, то $H-R > 0$, и, значит, $r > 0$.Проверим второе условие, $r < R$:

Так как $R>0$, можно разделить на $R$:

Так как $H-R>0$, можно умножить на $2(H-R)$:

Это условие совпадает с условием, рассматриваемым в данном случае. Таким образом, если $H > 2R$, то максимум площади полной поверхности достигается при радиусе $r = \frac{HR}{2(H-R)}$.

Случай 2: $H \le 2R$

Этот случай можно разделить на три подслучая: $R < H \le 2R$, $H=R$ и $H < R$.

• Если $R < H \le 2R$, то $1 - H/R < 0$, и $S(r)$ — парабола с ветвями вниз. Однако ее вершина $r = \frac{HR}{2(H-R)}$ находится в точке $r \ge R$. Это означает, что на всем интервале $(0, R)$ функция $S(r)$ монотонно возрастает.
• Если $H = R$, то коэффициент при $r^2$ равен нулю, и функция $S(r) = 2\pi H r$ является линейной и возрастающей на $(0, R)$.
• Если $H < R$, то коэффициент при $r^2$ положителен, и $S(r)$ — парабола с ветвями вверх, которая возрастает для всех положительных $r$.

Во всех этих подслучаях, когда $H \le 2R$, функция $S(r)$ монотонно возрастает на интервале $(0, R)$. Это означает, что наибольшее значение не достигается внутри интервала. Площадь поверхности стремится к своему максимуму, когда $r \to R$, но при этом высота цилиндра $h \to 0$, и он вырождается в плоский диск. Следовательно, не существует вписанного (невырожденного) цилиндра, который имеет наибольшую площадь полной поверхности.

Поскольку в задаче требуется найти радиус цилиндра, это подразумевает существование такого решения. Решение существует только при выполнении условия из первого случая.

Ответ: Если высота конуса $H$ больше удвоенного радиуса его основания $R$ (то есть $H > 2R$), то радиус вписанного цилиндра с наибольшей площадью полной поверхности равен $r = \frac{HR}{2(H-R)}$. Если $H \le 2R$, то цилиндра с наибольшей площадью полной поверхности не существует (площадь поверхности монотонно возрастает по мере приближения радиуса цилиндра $r$ к $R$).